第2講 論理記号の使い方
$\Rightarrow$と$\Leftrightarrow$
「$P \Rightarrow Q$」は「$P$ が真ならば $Q$ も真である」という主張を表す
余談
．
例えば
$\displaystyle x=-1\Rightarrow x^2=1$
$\displaystyle n\in\mathbf{N}\Rightarrow n\in\mathbf{Z}$
のように使われる．
「$P \Leftrightarrow Q$」は「$P \Rightarrow Q$ かつ $Q \Rightarrow P$」という主張を表す．
例えば
$\displaystyle x^2=1\Leftrightarrow x=1\ \mathrm{or}\ x=-1$
$\displaystyle n\in\mathbf{N}\Leftrightarrow n\in\mathbf{Z}\ \mathrm{and}\ n>0$
のように使われる．
命題「$P\Rightarrow Q$」「$P\Leftrightarrow Q$」自体も真偽を判定されるべきものであるから，記述の際は「$P\Rightarrow Q$ は真である」「$P\Leftrightarrow Q$ は成り立たない」のように使用するべきである．例えば
という具合に記述されたい．
$\forall$と$\exists$
「$\forall$」「$\exists$」はそれぞれ「すべての～」「ある～」という意味を表し．次のように使われる：
$P_1$：$\ \forall x\in\mathbf{R},\ x^2\ge 0$
$P_2$：$\ \exists n\in\mathbf{Z},\ n^2 > 0\ \mathrm{and}\ n^3<0$
意味
|
$P_1$： |
すべての実数 $x$ に対して $x^2\ge 0$ が成り立つ
|
|
$P_2$：
|
ある整数 $n$ に対して「$n^2> 0$ かつ $n^3<0$」が成り立つ
|
しばしば組み合わせて使われる：
$P_3$：$\ \forall m \in\mathbf{N},\exists n \in\mathbf{N},\ m < n$
$P_4$：$\ \exists n\in\mathbf{Z},\ \forall x\in\mathbf{R},\ nx=0$
意味
|
$P_3$： |
すべての自然数 $m$ に対して ある自然数 $n$ が存在して $m < n$ が成り立つ
|
|
$P_4$：
|
ある整数 $n$ が存在して，すべての実数 $x$ に対して $nx= 0$ が成り立つ
|
$P_1\ \sim\ P_4$ はすべて真であることを確認しておこう．
例えば，$P_2$ で言っている「$n$」には負の整数がどれでも当てはまるし，$P_4$ で言っている「$n$」とはもちろん $0$ のことである．
これらの記号を用いた表記の仕方は習慣上多少のばらつきがある．
例えば $P_1$ は
$\forall x\in\mathbf{R}\,[x^2\ge 0]$
と括弧を使うのが模範的かも知れないが，括弧が多すぎると読みにくくなるので，本講ではできるだけコンマを用いる．
他にも，例えば上の $P_2$ では「such that」の意味で
$\exists n\in\mathbf{Z}\ s.t.\ n^2 > 0\ \mathrm{and}\ n^3 < 0$
と書く人も多い，
「$\forall$，$\exists$」を使った表現に慣れるには多少の練習が必要かと思われる．
いろいろな例を自分なりの言葉で表現してみるとよい．
例えば，上に挙げた例 $P_1\ \sim\ P_4$ は次のように言い換えることもできる：
| $P_1$ |
・ | すべての実数 $x$ は $x^2\ge 0$ という式を満たす |
| ・ | どんな実数でも二乗すると非負となる |
| $P_2$ |
・ | ある整数 $n$ が存在して $n^2> 0$，$n^3 <0 $ の両方の式を満たす |
|
・ | 二乗すると正，三乗すると負になるような整数がある |
| $P_3$ |
・ | どんな自然数に対しても，それより大きい自然数が存在する |
|
・ | 最大の自然数はない |
| $P_4$ |
・ | $n$ というある整数が存在して，すべての実数は $n$ を掛けると $0$ になる |
| ・ | どんな実数を掛けても $0$ となる整数がある |
命題の否定
命題 $P$ の否定は $\lnot P$ で表される．以下が成り立つ：
| $\lnot\ (P\ \mathrm{and}\ Q)$ | $\ \Leftrightarrow\ $ | $\lnot P\ \mathrm{or}\ \lnot Q$ |
| $\lnot\ (P\ \mathrm{or}\ Q)$ | $\ \Leftrightarrow\ $ | $\lnot P\ \mathrm{and}\ \lnot Q$ |
| $\lnot\ (\forall x,\ p(x))$ | $\ \Leftrightarrow\ $ | $ \exists x,\ \lnot p(x)$ |
| $\lnot\ (\exists x,\ p(x))$ | $\ \Leftrightarrow\ $ | $\forall x,\ \lnot p(x)$ |
例えば，前項で挙げた $P_1\ \sim\ P_4$ の否定はそれぞれ次のようになる：
$\lnot P_1$：$\ \exists x\in\mathbf{R},\ x^2 < 0$
$\lnot P_2$：$\ \forall n\in\mathbf{Z},\ n^2\le 0\ \mathrm{or}\ n^3\ge 0$
$\lnot P_3$：$\ \exists m \in\mathbf{N},\forall n \in\mathbf{N},\ m \ge n$
$\lnot P_4$：$\ \forall n\in\mathbf{Z},\ \exists x\in\mathbf{R},\ nx\neq 0$
$P_1\ \sim\ P_4$ はすべて真であったから，この $\lnot P_1\ \sim\ \lnot P_4$ はすべて偽である．
$P\Rightarrow Q$ の否定
数学ではしばしば
$P:\ p(x)\ \Rightarrow q(x)$
という形の命題の否定を考えたいことがある．実はこの $P$ は本来は
$P:\ \forall x\,[\,p(x)\ \Rightarrow q(x)\,]$
のように書かれるべきなのであるが，習慣上「$\forall x$」は省略されることが多い．
すなわち，$P$ は「すべての $x$ について，$p(x)$ が真ならば $q(x)$ も真である」と言っており，その否定は「$p(x)$ は真だが $q(x)$ は偽であるような $x$ が存在する」ということになる．論理記号を使って表すと，
$\lnot P:\ \exists x\,[\,p(x)\ \mathrm{and}\ \lnot\ q(x)\,]$
となる．
整数に関する次の命題を考えよう：
$P_1:\ n^2 > 1\ \Rightarrow n > 1$
$P_2:\ n < 1\ \Rightarrow n \le 0$
くどいようだが，本来は
$P_1:\ \forall n\in\mathbf{Z}\,[\,n^2 > 1\ \Rightarrow n > 1]$
$P_2:\ \forall n\in\mathbf{Z}\,[\,n < 1\ \Rightarrow n \le 0]$
と書くべきである．「整数に関する」と断っているので「$\forall n\in\mathbf{Z}$」を省略している．
これらの否定はそれぞれ
$\lnot P_1:\ \exists n\in\mathbf{Z},\ n^2 > 1\ \mathrm{and}\ n \le 1$
$\lnot P_2:\ \exists n\in\mathbf{Z},\ n < 1\ \mathrm{and}\ n > 0$
となる．
$P_1$ は偽(従って $\lnot P_1$ は真)である．例えば，$(-2)^2>1$ だが $-2\le 1$ である．
$P_2$ は真(従って $\lnot P_2$ は偽)である．$\lnot P_2$ は
$\lnot P_2:\ \exists n\in\mathbf{Z},\ 0 < n < 1$
と書くこともできるが，もちろん $0 < n < 1$ なる整数は存在しない．
$P:\ \forall x\,[\,p(x)\ \Rightarrow q(x)\,]$
の否定が
$\lnot P:\ \exists x\,[\,p(x)\ \mathrm{and}\ \lnot\ q(x)\,]$
ということは，この $\lnot P$ を否定した
$\lnot(\lnot P):\ \forall x\,[\,\lnot p(x)\ \mathrm{or}\ q(x)\,]$
は当然 $P$ と同じ内容を表していなければならない．
すなわち，$p(x)\ \Rightarrow q(x)$ と $\lnot p(x)\ \mathrm{or}\ q(x)$ は同じだということになるが，実際その通りで，一般に命題 $P\Rightarrow Q$ と命題 $\lnot P\ \mathrm{or}\ Q$ とは同値である(常に真偽が一致する)．
次の(a)と(a')，(b)と(b')がそれぞれ同じ内容を表していることを観察してみて欲しい：
(a) $\forall x\in\mathbf{R}\,[\,x > 1\ \Rightarrow\ x > 0\,]$
(a') $\forall x\in\mathbf{R}\,[\,x\le 1\ \mathrm{or}\ x > 0\,]$
(b) $\forall n\in\mathbf{Z}\,[\, n> 0\ \Rightarrow\ n\in\mathbf{N}\,]$
(b') $\forall n\in\mathbf{Z}\,[\,n\le 0\ \mathrm{or}\ n\in\mathbf{N}\,]$
参考までに真偽表も載せておこう( $T$ は真を，$F$ は偽を表す)：
| $P$ | $Q$ | $\lnot P$ | $P\ \Rightarrow\ Q$ | $\lnot P\ \mathrm{or}\ Q$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |