写像

写像 $X$，$Y$ を集合とするとき，各 $x\in X$ に対して唯一つの $y\in Y$ を対応させる規則 $f$ を $X$ から $Y$ への写像といい，

$f:X\to Y,\quad x\mapsto y$

あるいは

$f:X\to Y,\quad f(x)= y$

のように表す．このとき，$X$ を $f$ の定義域といい，$\mathrm{Dom}(f)$ と表す．また，$f(x)$ のとり得る値の集合を $f$ の値域といい，$\mathrm{Range}(f)$ と表す:

$\mathrm{Range}(f)=\{\,f(x)\in Y\,|\,x\in X\,\}$

練習1

全射，単射，全単射 $X$，$Y$ を集合とする．

写像 $f:X\to Y$ が全射であるとは，$\mathrm{Range}(f)=Y$，すなわち
$\forall y\in Y,\ \exists x\in X,\ f(x)=y$
を満たすことをいう．

$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R},\quad f(x)=x+1$
$g:\mathbf{Z}\to\mathbf{Z},\quad g(n)=2n$
とすると，任意の $y\in\mathbf{R}$ に対して $x+1=y$ となる $x\in\mathbf{R}$ が存在するので，$f$ は全射である．しかし，例えば $2n=1$ となる $n\in\mathbf{Z}$ は存在しないので，$g$ は全射ではない．

写像 $f:X\to Y$ が単射であるとは，

$\forall x,x'\in X\,[\,x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x')\,]$

を満たすことをいう．

写像 $f:X\to Y$ が全単射であるとは，全射でありかつ単射であることをいう．

上の例で見たように，
$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R},\quad f(x)=x+1$
は全射でありかつ単射であるから全単射である．

練習2

恒等写像，合成写像，逆写像

集合 $X$ 上の恒等写像 $id_X$ は
$id_X : X \to X,\quad x\mapsto x$
により定義される．
写像 $f:X\to Y$ と写像 $g:Y'\to Z$ との合成写像 $g\circ f$ は，$\mathrm{Range}(f)\subset Y'$ であるときに限り
$g\circ f:X\to Z,\quad x\mapsto g(f(x))$
により定義される．

$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R},\quad x\mapsto \sin{x}$
$g:[2,\infty)\to\mathbf{R},\quad x\mapsto \sqrt{x-2}$
とすると
$\mathrm{Dom}(f)=\mathbf{R},\quad\mathrm{Range}(f)=[-1,1]$
$\mathrm{Dom}(g)=[2,\infty),\quad\mathrm{Range}(g)=[0,\infty)$
であるが，$\mathrm{Range}(f)=[-1,1]\cap\mathrm{Dom}(g)=\emptyset$ なので $g\circ f$ は定義できない．しかし，$\mathrm{Range}(g)\subset\mathrm{Dom}(f)$ なので
$f\circ g:[2,\infty)\to\mathbf{R},\quad x\mapsto \sin\sqrt{x-2}$
は定義することができる．

　合成写像 $g\circ f$ が定義されるためには $\mathrm{Range}(f)\subset\mathrm{Dom}(g)$ でなければならないが，そうでない場合でも，$f$ の定義域を適当に制限することにより $g\circ f$ を定義できることがある．例えば，
$f:(0,\infty)\to\mathbf{R},\quad x\mapsto\log{x}$
$g:[0,\infty)\to\mathbf{R},\quad x\mapsto\sqrt{x}$
とすると，$\mathrm{Range}(f)=\mathbf{R}\not\subset\mathrm{Dom}(g)$ なので $g\circ f$ は定義できないが，$f$ の定義域を $[1,\infty)$ に制限して
$f\big|_{[1,\infty)}:[1,\infty)\to \mathbf{R},\ x\mapsto\log{x}$
とすれば $\mathrm{Range}(f\big|_{[1,\infty)})=[0,\infty)\subset\mathrm{Dom}(g)$ となるから
$g\circ f\big|_{[1,\infty)}:[1,\infty)\to\mathbf{R},\quad x\mapsto \sqrt{\log{x}}$
が定義できる．このような場合でも，煩雑さを避けるために，単に
$g\circ f:[1,\infty)\to\mathbf{R},\quad x\mapsto \sqrt{\log{x}}$
と書いたりもするが，定義域が異なる $f$ と $f\big|_{[1,\infty)}$ とは写像として同じものではないということは意識しておきたい．
写像 $f:X\to Y$ が単射であるとき，各 $y\in \mathrm{Range}(f)$ に対して $f(x)=y$ となる $x\in X$ が唯一つ定まる．この対応を $f$ の逆写像と呼び，$f^{-1}$ で表す．すなわち
$f^{-1}:\mathrm{Range}(f)\to X,\quad y\mapsto \left(\begin{array}{l}f(x)=y \\ \mbox{となる $x$}\end{array}\right)$
このとき，次が成り立つことは明らかであろう：
$f^{-1}\circ f=id_X,\quad f\circ f^{-1}=id_{\mathrm{Range}(f)}$
また
$\mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Range}(f)$
$\mathrm{Range}(f^{-1})=\mathrm{Dom}(f)$
であることにも注意しよう．

$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\quad x\mapsto 2x+1$
とすると，これは単射であるから逆写像が存在し，$y=2x+1\Leftrightarrow x=\dfrac{y-1}{2}$ より
$f^{-1}:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\quad y\mapsto \dfrac{y-1}{2}$
となる．また
$g:[1,\infty)\to \mathbf{R},\quad x\mapsto \sqrt{x-1}$
とすると，これも単射であるから逆写像が存在し， $y=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=y^2+1,y\ge 0$ より，$\mathrm{Range}(f)=[0,\infty)$ にも注意して
$g^{-1}:[0,\infty)\to \mathbf{R},\quad y\mapsto y^2+1$
となる．これを
$g^{-1}:\mathbf{R}\to \mathbf{R},\quad y\mapsto y^2+1$
と書くのは適切でない．なぜなら，この $g^{-1}$ の定義域は飽くまでも $[0,\infty)$ であり，実際，例えば $g^{-1}(-1)$ とは $g(x)=\sqrt{x-1}=-1$ を満たす $x\in\mathbf{R}$ のことだがそのような $x$ は存在しないからである．

　$f$ が単射でない場合でも，やはり $f$ の定義域を適当に制限することにより $f^{-1}$ を定義できることがある．例えば，
$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R},\quad x\mapsto x^2+1$
は単射ではないが，例えば定義域を $[0,\infty)$ に制限して
$f\big|_{[0,\infty)}:[0,\infty)\to\mathbf{R},\quad x\mapsto x^2+1$
とするとこれは単射となり，$\mathrm{Range}(f\big|_{[0,\infty)})=[1,\infty)$に注意して逆写像
${f\big|_{[0,\infty)}}^{-1}:[1,\infty)\to[0,\infty),\quad y \mapsto \sqrt{y-1}$
を定義することができる．

練習3

像と逆像 $X$，$Y$ を集合，$f:X\to Y$ を写像とする．

$X$ の部分集合 $A$ の $f$ による像 $f(A)$ は
$f(A)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,f(x)\,|\,x\in A\,\}$
により定義される．特に，$f(X)=\mathrm{Range}(f)$ である．
$Y$ の部分集合 $B$ の $f$ による逆像 $f^{-1}(B)$ は
$f^{-1}(B)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,x\,|\,f(x)\in B\,\}$
により定義される．

練習4

第2講 写像

第2講　写像