集合に同値関係が定義されると，それによって同値類・商集合が定まるが，
さらにその商集合において同値類の和や積といった演算を定義することが多い．
どんな演算をどう定義するかはそれぞれの場合によるが，
必ず確かめないといけないのは，その演算が
$[\,a\,]=[\,a'\,],\ [\,b\,]=[\,b'\,]\ \Longrightarrow\ \begin{array}{l} [\,a\,]+[\,b\,]=[\,a'\,]+[\,b'\,]\\ [\,a\,]\cdot[\,b\,]=[\,a'\,]\cdot[\,b'\,]\end{array}$
ということが当然成り立たなければならない．
成り立たないことがあるのかと思うかもしれないが，一般に同値類の代表元の取り方は一意ではないので，このようなことは決して自動的に成り立つことではない．
$\mathbf{Z}$ において，同値関係
$n\sim n'\ \stackrel{\mathrm{def}}{\iff}\ n^2={n'}^2$
を考える(この関係が同値関係であることは明らかであろう)．
この場合，同値類は
$[\,0\,]=\{\,0\,\}$
$[\,1\,]=[\,-1\,]=\{\,-1,1\,\}$
$[\,2\,]=[\,-2\,]=\{\,-2,2\,\}$
$\quad \vdots$
となり，商集合は
$\mathbf{Z}/\sim\ =\big\{\,[\,n\,]\ \big|\ n\in\mathbf{N}\cup\{\,0\,\}\,\big\}$
と表すことができる．そこで，この商集合における「和」と「積」をそれぞれ
$[\,m\,]+[\,n\,]\stackrel{\mathrm{def}}{=}[\,m+n\,]$
$[\,m\,]\cdot[\,n\,]\stackrel{\mathrm{def}}{=}[\,mn\,]$
と「定義」したとしよう．この通りに「和」を計算すると，例えば
$[\,1\,]+[\,2\,]=[\,1+2\,]=[\,3\,]$
$[\,-1\,]+[\,2\,]=[\,-1+2\,]=[\,1\,]$
だが，$[\,1\,]=[\,-1\,]$ のはずなのに $[\,1\,]+[\,2\,]\neq[\,-1\,]+[\,2\,]$ となってしまうのは不合理である．この「和」と称している演算は定義がうまくいっていない，という意味で「
well-definedではない」．
一方，「積」に関しては
$[\,1\,]\cdot[\,2\,]=[\,1\cdot2\,]=[\,2\,]$
$[\,-1\,]\cdot[\,2\,]=[\,-1\cdot2\,]=[\,-2\,]$
だが，$[\,2\,]=[\,-2\,]$ だからこちらはよさそうである．実際，
$[\,m\,]=[\,m'\,],\ [\,n\,]=[\,n'\,]$
とすると，$m^2={m'}^2$，$n^2={n'}^2$ だから $(mm')^2=(nn')^2$，従って $[\,mn\,]=[\,m'n'\,]$ となり
$[\,m\,]=[\,m'\,],\ [\,n\,]=[\,n'\,]\ \Longrightarrow [\,m\,]\cdot[\,n\,]=[\,m'\,]\cdot[\,n'\,]$
ということがきちんと成り立っている．この「積」の定義はうまくいっている，という意味で「
well-definedである」，