ベクトル空間$\mathbf{R}^2$
$2$ 次元実数ベクトルは，二つの実数 $x,y$ により $\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)$ と表されるのであった．これらをすべて集めた集合を
$\mathbf{R}^2=\left\{\left.\, \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\ \right|\ x,y\in\mathbf{R}\ \right\}$
と書き，$2$ 次元
実数ベクトル空間という．
当たり前ではあるが，次が成り立つことに注意しておこう．
$\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\end{array}\right)\in\mathbf{R}^2
\ \Rightarrow\
\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\end{array}\right)\in\mathbf{R}^2$
$\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array}\right)\in\mathbf{R}^2,\ k\in\mathbf{R}
\ \Rightarrow\
k\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array}\right)\in\mathbf{R}^2$
一般に，「ベクトル空間」とは，この $\mathbf{R}^2$ のように和とスカラー倍という演算が定義されている集合のことを指す(詳しくは後述)．
二つの複素数を並べて表されるベクトルは $2$ 次元複素数ベクトルと呼んでもよいが，単に
$2$ 次元数ベクトルと呼ばれることが多い(単に「数」と言うときは複素数を指す習慣である)．
それらをすべて集めた集合
$\mathbf{C}^2=\left\{\left.\, \left(\begin{array}{c}z\\w\end{array}\right)\ \right|\ z,w\in\mathbf{C}\ \right\}$
は
$2$ 次元数ベクトル空間と呼ばれる．
一般に，「ベクトル」とは(雑に言うと)和とスカラー倍が定義されているもののことをいう．
例えば，数列や関数などもベクトルとして扱うことができる．
ここで見ているような「数」を並べて表されるベクトルは，特に「数ベクトル」と呼ばれるのである．
$\mathbf{R}^2$の部分空間
$W$ が $\mathbf{R}^2$ の部分集合であって，$W$ 自体もベクトル空間となっているとき，すなわち
$\mathrm{(i)}$ $\mathbf{a},\ \mathbf{b}\in W\ \Rightarrow \mathbf{a}+\mathbf{b}\in W$
$\mathrm{(ii)}$ $\mathbf{a}\in W,\ k\in\mathbf{R}\ \Rightarrow k\mathbf{a}\in W$
が成り立つとき，
$W$ を $\mathbf{R}^2$ の
部分空間(部分ベクトル空間)という．
この二つの条件 $\mathrm{(i)}$，$\mathrm{(ii)}$ は
$\mathrm{(iii)}$ $\mathbf{a},\ \mathbf{b}\in W,\ k,l\in\mathbf{R}\ \Rightarrow k\mathbf{a}+l\mathbf{b}\in W$
と一つにまとめることもできる
詳しく!
．
$\mathrm{(i)},\ \mathrm{(ii)}\ \Rightarrow \mathrm{(iii)}$
$\mathrm{(i)},\ \mathrm{(ii)}$が成り立つと仮定し，
$\mathbf{a},\ \mathbf{b}\in W,\ k,l\in\mathbf{R}$
とすると，まず $\mathrm{(ii)}$ より $k\mathbf{a},\ l\mathbf{b}\in W$ さらに $\mathrm{(i)}$ より $k\mathbf{a}+l\mathbf{b}\in W$ となる．よって $\mathrm{(iii)}$ が成り立つ．
$\mathrm{(iii)}\ \Rightarrow \mathrm{(i)},\ \mathrm{(ii)}$
$\mathrm{(iii)}$ が成り立つと仮定し，
$\mathbf{a},\ \mathbf{b}\in W$ とすると，
$\mathbf{a}+\mathbf{b}=1\mathbf{a}+1\mathbf{b}\in W$ となり，$\mathrm{(i)}$ が成り立つ．
また，$\mathbf{a}\in W,\ k\in\mathbf{R}$ とすると
，$k\mathbf{a}=k\mathbf{a}+0\mathbf{a}\in W$ となり，$\mathrm{(ii)}$ が成り立つ．
- ベクトル $\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$
と平行なすべてのベクトルからなる集合
$W_1=\left\{\left.\, t\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)\ \right|\ t\in\mathbf{R}\ \right\}$
は $\mathbf{R}^2$ の部分空間である．
実際，$\mathbf{a}$，$\mathbf{b}\in W_1$ とすると
$\mathbf{a}=s\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$，
$\mathbf{b}=t\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$ $(s,t\in\mathbf{R})$ と表せるから
$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(s+t)\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)\in W_1$
であり，
また，任意のスカラー $k\in\mathbf{R}$ に対して
$k\mathbf{a}=ks\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)\in W_1$
となっている．このような状況を，$W_1$ は「和，スカラー倍に関して閉じている」と言い表す．
-
第2成分が第1成分より $1$ だけ大きいようなベクトルからなる集合
$W_2=\left\{\left.\, \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\ \right|\ y=x+1\ \right\}$
は部分空間ではない．例えば，
$\mathbf{a}'=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)$，$\mathbf{b}'=\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$
とすると $\mathbf{a}',\mathbf{b}'\in W_2$ であるが
$\mathbf{a}'+\mathbf{b}'=\left(\begin{array}{c}1\\3\end{array}\right)\notin W_2$
だから，$W_2$ は和に関して閉じていない．
あるいは
$2\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}0\\2\end{array}\right)\notin W_2$
だから，$W_2$ はスカラー倍に関しても閉じていない．
$\mathbf{R}^2$ の部分空間で自明
何？
$\mathbf{R}^2$ 自身，および零ベクトル $\mathbf{0}=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$ のみを含む集合 $\{\,\mathbf{0}\,\}$ の二つは明らかに条件を満たすので「自明な部分空間」と言われる．
でないものは，
零ベクトルでないある一つのベクトル $\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)$ と平行なすべてのベクトルからなる集合であり，
$\left\langle\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\right\rangle$ と表される：
$\left\langle\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\right\rangle
\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left\{\left.t\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\right|\ t\in\mathbf{R}\ \right\}$
以下，「ベクトル $\mathbf{a}$ と平行なベクトル」とは，$t\mathbf{a}$ ($t\in\mathbf{R}$) と表されるベクトルのことを指す．従って零ベクトル $\mathbf{0}=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$ も含む．
「次元」について詳しくは後述するが，この空間は一つのベクトルを用いて表されるという意味で
$1$ 次元部分空間である
詳しく!
．
零ベクトル $\mathbf{0}$ のみからなる部分空間 $\{\,\mathbf{0}\,\}$ の次元は $0$ と規約する．
また，全空間 $\mathbf{R}^2$ は $2$ 次元空間である．
その意味は，$\mathbf{R}^2$ のすべてのベクトルを表すのに $2$ 本のベクトルが必要($3$ 本は必要ない)ということである．
例えば，
$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)$，
$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)$ とすると，
$\mathbf{R}^2$ のすべてのベクトルは $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ の
線型結合(次項)で表される．すなわち，
任意の $\left(\begin{array}{c}p\\q\end{array}\right)\in\mathbf{R}^2$
に対して
$\left(\begin{array}{c}p\\q\end{array}\right)=t_1\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)+t_2\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)
$
を満たすスカラー(実数) $t_1,t_2$ が必ず存在する
さらに詳しく!
．
実際，この式を行列を用いて表すと
$\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t_1\\t_2\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}p\\q\end{array}\right)$
となり，係数行列 $\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&3\end{array}\right)$ は逆行列を持つから，それを両辺に左から掛けることにより
$\left(\begin{array}{c}t_1\\t_2\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&3\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}p\\q\end{array}\right)$
と，$t_1,t_2$ が定まる．
上の議論において，$\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&3\end{array}\right)$ が逆行列を持つのは，$\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)$ と $\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)$ が
互いに平行でないからだということに注意しよう．
一般に，行列 $A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$ について
$A$ が逆行列を持つ
$\hspace{15pt}\Leftrightarrow\ ad-bc\neq0$
$\hspace{15pt}\Leftrightarrow\left(\begin{array}{c}a\\c\end{array}\right)$ と
$\left(\begin{array}{c}b\\d\end{array}\right)$ は互いに平行でない
が成り立つのであった．
このことを踏まえ，
$\mathbf{R}^2$ の部分空間 $W$ は
$\mathbf{a},\mathbf{b}\in W,\ t_1,t_2\in\mathbf{R}\ \Rightarrow t_1\mathbf{a}+t_2\mathbf{b}\in W$
を満たさなければならないことを考えると，
$W$ が平行でない $2$ 本のベクトルを含むならば，$W$ は $\mathbf{R}^2$ のすべてのベクトルを含むことになり，結局
$W=\mathbf{R}^2$
となる．従って，$W$ が $\mathbf{R}^2$ でも $\{\,\mathbf{0}\,\}$ でもない非自明な部分空間であるためには，ある $1$ 本のベクトル $\mathbf{a}\ (\neq\mathbf{0})$ と，$\mathbf{a}$ と平行なベクトルしか含んではならない，すなわち
$W=\langle\mathbf{a}\rangle\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,t\mathbf{a}\ |\ t\in\mathbf{R}\,\}$
と表されることがわかる．
さらに，この空間を
$\left\langle\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\right\rangle=
\left\{\left.\, \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\ \right|\ bx-ay=0\ \right\}$
という形で表すこともできる
詳しく!
．
実際，
$\left\langle\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\right\rangle
=\left\{\left.t\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\right|\ t\in\mathbf{R}\ \right\}\\[1mm]
\hspace{37pt}=\left\{\left.\left(\begin{array}{c}at\\bt\end{array}\right)\right|\ t\in\mathbf{R}\ \right\}$
から $x=at$，$y=bt$ とおき $t$ を消去すると $bx-ay=0$ が得られるから
$\left\langle\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\right\rangle
=\left\{\left.\, \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\ \right|\ bx-ay=0\ \right\}$
と表される．
ここに現れた $bx-ay=0$ という式は $xy$ 平面において原点および点 $(a,b)$ を通る直線を表すので，
$xy$ 平面上の点とその位置ベクトルを同一視する観点から
| $xy$ 平面全体 | $\quad\leftrightarrow\quad$ | 全空間 $\mathbf{R}^2$ |
| 原点および点 $(a,b)$ を通る直線 | $\quad\leftrightarrow\quad$ | $1$ 次元部分空間 $\left\langle\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\right\rangle$ |
| 原点 | $\quad\leftrightarrow\quad$ | $0$ 次元部分空間 $\{\,\mathbf{0}\,\}$ |
と見なすことができる．
このような図形的な把握の仕方は，先々 $4$ 次元以上も含めた一般論になると通用しなくなるが，
だとしても，低次元における図形的イメージを持っておくことは，抽象概念を理解する手掛かりとして有効である．
次のうち，部分空間
$\left\langle\left(\begin{array}{c}4\\3\end{array}\right)\right\rangle$
と同じものはどれか？
$\mathrm{(a)}$ $\left\langle\left(\begin{array}{c}8\\6\end{array}\right)\right\rangle$
$\mathrm{(b)}$ $\left\langle\left(\begin{array}{c}-4\\-3\end{array}\right)\right\rangle$
$\mathrm{(c)}$ $\left\{\left.\, \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\ \right|\ 3x-4y=0\ \right\}$
$\mathrm{(d)}$ $\left\{\left.\, \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\ \right|\ y=\dfrac{3}{4}x\ \right\}$
すべて．
部分空間の生成
一般に，ベクトル $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n$ が与えられたとき，スカラー(実数) $t_1,t_2,\ldots,t_n$ により
$t_1\mathbf{a}_1+t_2\mathbf{a}_2+\ldots+t_n\mathbf{a}_n$
の形で表されるベクトルを $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n$ の
線型結合(一次結合)というが，それらをすべて集めた集合を
$\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n$ が
生成する(張る)部分空間といい，$\langle\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle$ と表す：
$\langle\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle$
$\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,t_1\mathbf{a}_1+t_2\mathbf{a}_2+\ldots+t_n\mathbf{a}_n\ |\ t_1,t_2\ldots,t_n\in\mathbf{R}\,\}$
もし $\mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbf{R}^2$ であって，$\mathbf{b}$ が $\mathbf{a}$ と平行ならば
$\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=\langle\mathbf{a}\rangle$
であることに注意しよう
詳しく!．
例えば，
$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$，
$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}2\\4\end{array}\right)$ とすると
$\left\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\right\rangle
=\left\{\left.t_1\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)+t_2\left(\begin{array}{c}2\\4\end{array}\right)\right|\ t_1,t_2\in\mathbf{R}\ \right\}\\[1mm]
\hspace{23pt}=\left\{\left.(t_1+2t_2)\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)\right|\ t_1,t_2\in\mathbf{R}\ \right\}$
$\left\langle\mathbf{a}\right\rangle
=\left\{\left.t\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)\right|\ t\in\mathbf{R}\ \right\}$
であるが，これらはいずれも $\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$ と平行なすべてのベクトルからなる集合である．
同様に考えて，$\mathbf{R}^2$ の $n$ 個のベクトル $\mathbf{b_1},\mathbf{b_2},\ldots,\mathbf{b}_n$ がすべて $\mathbf{a}$ と平行ならば
$\langle\mathbf{a},\mathbf{b_1},\mathbf{b_2},\ldots,\mathbf{b}_n\rangle=
\langle\mathbf{a}\rangle$
となることがわかる．
次のうち，部分空間
$\left\langle\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)\right\rangle$
と同じものはどれか？
$\mathrm{(a)}$ $\left\langle\left(\begin{array}{c}6\\-2\end{array}\right)\right\rangle$
$\mathrm{(b)}$ $\left\langle\left(\begin{array}{c}-3\\1\end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c}12\\-4\end{array}\right)\right\rangle$
$\mathrm{(c)}$ $\left\langle\left(\begin{array}{c}15\\-5\end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\right\rangle$
$\mathrm{(d)}$ $\left\langle\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c}1\\-1/3\end{array}\right),\,\ \left(\begin{array}{c}3\sqrt{2}\\-\sqrt{2}\end{array}\right)\right\rangle$
すべて．
また，$\mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbf{R}^2$ が互いに平行でないならば
$\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=\mathbf{R}^2$
である
詳しく!．
例えば，
$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)$，
$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)$ とすると，
$\left\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\right\rangle$ はこれら平行でない二本のベクトルを含むことになるので，前項で見たように全空間 $\mathrm{R}^2$ と一致する．
実際，
$\left\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\right\rangle
=\left\{\left.t_1\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)+t_2\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)\right|\ t_1,t_2\in\mathbf{R}\ \right\}$
であるが，$\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)$ と $\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)$ が平行でないことから，
$\mathbf{R}^2$ のすべてのベクトル $\left(\begin{array}{c}p\\q\end{array}\right)$ は実数 $t_1$，$t_2$ を用いて
$\left(\begin{array}{c}p\\q\end{array}\right)=t_1\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)+t_2\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)
$
と表すことができるのであった．
従って，$\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle$ は $\mathbf{R}^2$ のベクトルをすべて含むような $\mathbf{R}^2$ の部分空間ということになり，それはすなわち
$\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=\mathbf{R}^2$
を意味する．
同様に考えて，$\mathbf{R}^2$ の $n$ 個のベクトル $\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\ldots,\mathbf{a}_n$ の中に互いに平行でない組が一組でもあれば
$\langle\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\ldots,\mathbf{a}_n\rangle=
\mathbf{R}^2$
となる．
次のうち，$\mathrm{R}^2$ と同じものはどれか？
$\mathrm{(a)}$ $\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\right\rangle$
$\mathrm{(b)}$ $\left\langle\left(\begin{array}{c}4\\-2\end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c}-2\\1\end{array}\right)\right\rangle$
$\mathrm{(c)}$ $\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\5\end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\right\rangle$
$\mathrm{(d)}$ $\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c}2\\2\end{array}\right),\,\ \left(\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right)\right\rangle$
$\mathrm{(a)}$ と $\mathrm{(d)}$．
線型写像の像空間と階数
前講で述べたように，行列の役割はベクトルを新しいベクトルに変換することであった．特に，実 $2\times 2$ 行列 $A$ は，$\mathbf{R}^2$ のベクトル $\mathbf{x}$ を $\mathbf{R}^2$ のベクトル $A\mathbf{x}$ に変換する
線型写像(一次写像)を定める．この写像を $f_A$ と表すことにしよう：
$f_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\quad(\mathbf{x}\in\mathbf{R}^2)$
ここで，写像 $f_A$ が「線型」であるとは
$f_A(\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2)=f_A(\mathbf{x}_1)+f_A(\mathbf{x}_2)\qquad(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in\mathbf{R}^2)$
$f_A(k\mathbf{x})=kf_A(\mathbf{x})\qquad(\mathbf{x}\in\mathbf{R}^2,\ k\in\mathbf{R})$
が成り立つことをいう．一つにまとめて
$f_A(k_1\mathbf{x}_1+k_2\mathbf{x}_2)=k_1f_A(\mathbf{x}_1)+k_2f_A(\mathbf{x}_2)$$\hspace{100pt}(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in\mathbf{R}^2,\ k_1,k_2\in\mathbf{R})$
が成り立つことだといってもよい．
簡単に言うと
和とスカラー倍という演算を，ベクトルを移す前に行っても移した後に行っても結果は同じ
であるような写像が線型写像である．
行列とベクトルの演算規則に基づいて
$A(k_1\mathbf{x}_1+k_2\mathbf{x}_2)=k_1A\mathbf{x}_1+k_2A\mathbf{x}_2$
が確かに成り立っていることを確認されたい．「スカラー倍して足す」という操作を，左辺では行列を掛ける前に，右辺は行列を掛けた後に行っているが，どちらでも結果は同じである．
$A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&4\end{array}\right)$
$\mathbf{x}_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)$，
$\mathbf{x}_2=\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)$，
$\mathbf{0}=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$
とするとき，$f_A(\mathbf{x}_1)$，$f_A(\mathbf{x}_2)$，$f_A(\mathbf{0})$ を求めよ．
$f(\mathbf{x}_1)
=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}3\\6\end{array}\right)$
$f(\mathbf{x}_2)
=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$
$f(\mathbf{0})
=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$
実 $2\times 2$ 行列 $A$ が定める線型写像 $f_A$ の像空間とは，$f_A$ によって移されたすべてのベクトルの集合であり，$\mathrm{Im}f_A$ と表す：
$\mathrm{Im}f_A
\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,f_A(\mathbf{x})\ |\ \mathbf{x}\in\mathbf{R}^2\,\}
=\{\,A\mathbf{x}\ |\ \mathbf{x}\in\mathbf{R}^2\,\}$
$A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$ とすると
$\mathrm{Im}f_A
=\left\langle\left(\begin{array}{c}a\\c\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}b\\d\end{array}\right)\right\rangle$
である
詳しく!．
実際
$\mathrm{Im}f_A
=\{\,A\mathbf{x}\ |\ \mathbf{x}\in\mathbf{R}^2\,\}\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\ \right|\ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\in\mathbf{R}^2\,\right\}\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}ax+by\\cx+dy\end{array}\right)\ \right|\ x,y\in\mathbf{R}\,\right\}\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\{\left.\,x\left(\begin{array}{c}a\\c\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}b\\d\end{array}\right)\ \right|\ x,y\in\mathbf{R}\,\right\}\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\langle\left(\begin{array}{c}a\\c\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}b\\d\end{array}\right)\right\rangle$
となる．
この像空間 $f_A$ の次元のことを行列 $A$ の
階数といい，$\mathrm{rank}A$ で表す
(「線型写像 $f_A$ の階数」ともいい，$\mathrm{rank}f_A$ と表すこともある)．
-
$A=\left(\begin{array}{cc}1&3\\2&6\end{array}\right)$ とすると($\det{A}=0$)
$\mathrm{Im}f_A
=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}3\\6\end{array}\right)\right\rangle
=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)\right\rangle
$
となり，$\mathrm{Im}f_A$ は $1$ 次元部分空間である．
よって $\mathrm{rank}A=1$．
-
$B=\left(\begin{array}{cc}2&3\\2&1\end{array}\right)$ とすると($\det{B}\neq0$)
$\mathrm{Im}f_B
=\left\langle\left(\begin{array}{c}2\\2\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right)\right\rangle
=\mathbf{R}^2
$
となり，$\mathrm{Im}f_B$ は $2$ 次元部分空間(全空間)である．
よって $\mathrm{rank}B=2$．
-
自明ではあるが，零行列
$O=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right)$ も見ておくと
$\mathrm{Im}f_O
=\left\langle\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\right\rangle
=\left\{\,\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\,\right\}
$
となり，これは $0$ 次元空間という規約であったから $\mathrm{rank}O=0$．
