正規直交系と正規直交基底
$(V,(\cdot,\cdot))$ を内積空間とする．すなわち，$V$ は内積 $(\cdot,\cdot)$ が定義されたベクトル空間である．$V$ のベクトルの組 $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_m\}$ が
正規直交系(ONS)であるとは
$(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j)=\left\{\begin{array}{ll}1&\mbox{if $i=j$}\\0&\mbox{if $i\neq j$}\end{array}\right.$
を満たすことをいう．
内積空間におけるノルムは通常 $\|\mathbf{v}\|:=\sqrt{(\mathbf{v},\mathbf{v})}$ により定義されるので
$(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_i)=1\ \Leftrightarrow \|u_i\|=1$
である．すなわち，正規直交系とは，「互いに直交する単位ベクトルからなる組」ということができる．
正規直交系でかつ基底
何だっけ？
$K$ ($=\mathbf{R}\ \mathrm{or}\ \mathbf{C}$) をスカラーとするベクトル空間 $V$ において，ベクトルの組 $\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\}$ が $V$ の基底であるとは，次の二つの条件を満たすことをいう：
であるものを
正規直交基底(ONB)という．
$\mathbf{R}^n$ における通常の内積はドット積である．その場合正規直交性は
$\mathbf{u}_i\cdot\mathbf{u}_i=\left\{\begin{array}{ll}1&\mbox{if $i=j$}\\0&\mbox{if $i\neq j$}\end{array}\right.$
と書かれる．
例えば
$\mathbf{u}_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)$，
$\mathbf{u}_2=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)$
とすると $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\}$ は $\mathbf{R}^3$
の正規直交系である．
実際，$\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2=0$, $\|\mathbf{u}_1\|=\|\mathbf{u}_2\|=1$ となっていることが次のように確かめられる：
$\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)
\cdot
\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)
=1\cdot1+0\cdot2+1\cdot(-1)=0
$
$\left\|\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)\right\|
=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=1$
$\left\|\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)\right\|
=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{1^2+2^2+1^2}=1
$
この $\|\cdot\|$ はもちろん Euclid ノルムである．
さらに
$\mathbf{u}_3=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right)$
を付け加えると $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\}$ は $\mathbf{R}^3$ の正規直交基底となる．実際
$\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2=\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_3=\mathbf{u}_3\cdot\mathbf{u}_1=0\\[1mm]
\|\mathbf{u}_1\|=\|\mathbf{u}_2\|=\|\mathbf{u}_3\|=1$
となっていることが上と同様に確かめられる．
$\mathbf{R}^2$ の正規直交基底であるものを選べ．ただし，内積はドット積とする．
$\mathrm{(a)}$ $\left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\right\}$
$\mathrm{(b)}$ $\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right),\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\right\}$
$\mathrm{(c)}$ $\left\{\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right),\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)\right\}$
$\mathrm{(d)}$ $\left\{\dfrac{1}{\sqrt{11}}\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right),\dfrac{1}{\sqrt{11}}\left(\begin{array}{c}3\\-2\end{array}\right)\right\}$
$\mathrm{(e)}$ $\left\{\dfrac{1}{5}\left(\begin{array}{c}4\\-3\end{array}\right),\dfrac{1}{5}\left(\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right)\right\}$
これらはすべて $\mathbf{R}^2$ の基底であるが，
正規直交基底は $\mathrm{(a)}$，$\mathrm{(b)}$，$\mathrm{(e)}$．
$\mathrm{(c)}$ は直交していない．
$\mathrm{(d)}$ は正規化されていない(単位ベクトルでない)．
$\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_n\}$ を内積空間 $(V,(\cdot,\cdot))$ の正規直交基底とするとき，$V$ の任意のベクトル $\mathbf{v}$ は
$\mathbf{v}=(\mathbf{v},\mathbf{u}_1)\mathbf{u}_1+(\mathbf{v},\mathbf{u}_2)\mathbf{u}_2+\cdots+(\mathbf{v},\mathbf{u}_n)\mathbf{u}_n$
と表わされる
詳しく！．
$\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_n\}$ が $V$ の基底ならば，$V$ の任意のベクトル $\mathbf{v}$ は適当なスカラー $c_1,c_2,\ldots,c_n$ によって
$\mathbf{v}=c_1\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2+\cdots+c_n\mathbf{u}_n$
と表わされる．そこで，$\mathbf{v}$ と $\mathbf{u}_1$ の内積を考えると，内積の線型性により
$(\mathbf{v},\mathbf{u}_1)
=(c_1\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2+\cdots+c_n\mathbf{u}_n,\mathbf{u}_1)\\
\hspace{28pt}=c_1(\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1)+c_2(\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_1)+\cdots+c_n(\mathbf{u}_n,\mathbf{u}_1)$
さらに $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_n\}$ が正規直交基底ならば
この右辺は $c_1$ に等しく，結局
$(\mathbf{v},\mathbf{u}_1)=c_1$
となる．同様に考えて
$(\mathbf{v},\mathbf{u}_2)=c_2,\ (\mathbf{v},\mathbf{u}_3)=c_3, \ldots,\ (\mathbf{v},\mathbf{u}_n)=c_n$
とわかる．
-
$\mathbf{R}^2$ (内積はドット積) において
$\mathbf{e}_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\ \mathbf{e}_2=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)$
$\mathbf{u}_1=\dfrac{1}{5}\left(\begin{array}{c}4\\-3\end{array}\right),\ \mathbf{u}_2=\dfrac{1}{5}\left(\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right)$
とおくと，$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$，$\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\}$ はそれぞれ $\mathbf{R}^2$ の正規直交基底である．
そこで，ベクトル $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)$ をこれらの正規直交基底で表すと，
まず $\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_1=2$，$\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_2=3$ より
$\mathbf{v}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_1)\mathbf{e}_1+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_2)\mathbf{e}_2
=2\mathbf{e}_1+3\mathbf{e}_3$
また， $\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_1=-\dfrac{1}{5}$，$\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_2=\dfrac{18}{5}$ より
$\mathbf{v}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_1)\mathbf{u}_1+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_2)\mathbf{u}_2
=-\dfrac{1}{5}\mathbf{u}_1+\dfrac{18}{5}\mathbf{u}_3$
となる．
-
$\mathbf{R}^3$ (内積はドット積) において
$\mathbf{u}_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right),\ \mathbf{u}_2=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\ \mathbf{u}_3=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right)$
とおくと，$\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\}$ は $\mathbf{R}^3$ の正規直交基底である．
そこで，ベクトル $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)$ をこの正規直交基底で表すと，
$\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_1=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}$，$\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_2=\dfrac{8}{\sqrt{6}}$， $\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_3=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ より
$\mathbf{v}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_1)\mathbf{u}_1+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_2)\mathbf{u}_2+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_3)\mathbf{u}_3\\
\hspace{5pt}=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\mathbf{u}_1+\dfrac{8}{\sqrt{6}}\mathbf{u}_2+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\mathbf{u}_3$
となる．
Gram-Schmidtの正規直交化法
内積空間 $(V,(\cdot,\cdot))$ において，任意に与えられた(一次独立な)ベクトルの組 $\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\}$ から，次の
Gram-Schmidtの正規直交化法により正規直交系 $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n\}$ をつくることができる．
-
まず，$\mathbf{e}_1=\dfrac{1}{\|\mathbf{a}_1\|}\,\mathbf{a}_1$ と定める．$\|\mathbf{e}_1\|=1$である．
-
上で得られた $\mathbf{e}_1$ と $\mathbf{a}_2$ を用いて
$\mathbf{b}_2=\mathbf{a}_2-(\mathbf{a}_2,\mathbf{e}_1)\,\mathbf{e}_1$ さらに $\mathbf{e}_2=\dfrac{1}{\|\mathbf{b}_2\|}\,\mathbf{b}_2$
と定める($\|\mathbf{e}_2\|=1$ かつ $(\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1)=0$ である).
-
上で得られた $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2$ と $\mathbf{a}_3$ を用いて
$\mathbf{b}_3=\mathbf{a}_3-(\mathbf{a}_3\cdot\mathbf{e}_1)\,\mathbf{e}_1-(\mathbf{a}_3\cdot\mathbf{e}_2)\,\mathbf{e}_2$ さらに
$\mathbf{e}_3=\dfrac{1}{\|\mathbf{b}_3\|}\,\mathbf{b}_3$.
と定める($\|\mathbf{e}_3\|=1$ かつ $(\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_1)=(\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_2)=0$ である).
-
この手順を繰り返す．すなわち，$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k$が
得られたならば
$\displaystyle \mathbf{b}_{k+1}=\mathbf{a}_{k+1}-\sum_{i=1}^k(\mathbf{a}_{k+1},\mathbf{e}_i)\,\mathbf{e}_i$ さらに
$\mathbf{e}_{k+1}=\dfrac{1}{\|\mathbf{b}_{k+1}\|}\,\mathbf{b}_{k+1}$
と定める．
$\mathbf{e}_n$ が得られたところで終了する．
一般に，単位ベクトル $\mathbf{e}$ が与えられたとき，
任意のベクトル $\mathbf{a}$ に対して
$\mathbf{b}=\mathbf{a}-(\mathbf{a},\mathbf{e})\mathbf{e}$
と定めると，$\mathbf{b}$ は $\mathbf{e}$ と垂直なベクトルである．
実際，内積の線型性により
$(\mathbf{b},\mathbf{e})=(\mathbf{a}-(\mathbf{a},\mathbf{e})\mathbf{e},\mathbf{e})\\
\hspace{23pt}=(\mathbf{a},\mathbf{e})-(\mathbf{a},\mathbf{e})(\mathbf{e},\mathbf{e})\\
\hspace{23pt}=(\mathbf{a},\mathbf{e})-(\mathbf{a},\mathbf{e})=0$
となる．
上式中の $(\mathbf{a},\mathbf{e})\mathbf{e}$ を $\mathbf{a}$ の $\mathbf{e}$ 方向への
射影と呼ぶことがある(射影については講を改めて述べる)が，
雑に言うと
あるベクトルからその $\mathbf{e}$ 方向への射影を引くと $\mathbf{e}$ と垂直なベクトルが得られる
ということである．このことから，Gram-Schmidtの方法において
$\displaystyle \mathbf{b}_{k+1}=\mathbf{a}_{k+1}-\sum_{i=1}^k(\mathbf{a}_{k+1},\mathbf{e}_i)\,\mathbf{e}_i$
により定まる $\mathbf{b}_{k+1}$ が単位ベクトル $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k$ のすべてと垂直であることがわかる．
-
$\mathbf{R}^2$ (内積はドット積) のベクトル
$\mathbf{a}_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)$，
$\mathbf{a}_2=\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)$
からなる組にGram-Schmidtの方法を適用する．まず
$\mathbf{e}_1=\dfrac{1}{\|\mathbf{a}_1\|}\mathbf{a}_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)$
$\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{e}_1=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$ より
$\mathbf{b}_2=\mathbf{a}_2-(\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{e}_1)\mathbf{e}_1\\[1mm]
\hspace{10pt}=\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)-\dfrac{5}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\\[1mm]
\hspace{10pt}=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)$
$\mathbf{e}_2=\dfrac{1}{\|\mathbf{b}_2\|}\mathbf{b}_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)$
この場合，もとの $\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\}$ は $\mathbf{R}^2$ の基底であるから，結果として $\mathbf{R}^2$ の正規直交基底 $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}=
\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right),\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\right\}$ が得られたことになる．
$\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の順番を逆にして
$\mathbf{e}_1=\dfrac{1}{\|\mathbf{a}_2\|}\mathbf{a}_2=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)$
$\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{e}_1=\dfrac{5}{\sqrt{13}}$ より
$\mathbf{b}_2=\mathbf{a}_1-(\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{e}_1)\mathbf{e}_1\\[1mm]
\hspace{10pt}=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)-\dfrac{5}{\sqrt{13}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{13}}\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)\\[1mm]
\hspace{10pt}=\dfrac{1}{13}\left(\begin{array}{c}-2\\3\end{array}\right)$
$\mathbf{e}_2=\dfrac{1}{\|\mathbf{b}_2\|}\mathbf{b}_2=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\left(\begin{array}{c}-2\\3\end{array}\right)$
としてもよい．もちろんこの場合も $\mathbf{R}^2$ の正規直交基底 $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}=
\left\{\dfrac{1}{\sqrt{13}}\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right),\dfrac{1}{\sqrt{13}}\left(\begin{array}{c}-2\\3\end{array}\right)\right\}$ が得られる．
場合によってはこのように順番を入れ替えたほうが計算しやすいこともあるが，以下では練習のため常に「順番通り」に計算することにする．
-
$\mathbf{R}^3$ (内積はドット積) のベクトル
$\mathbf{a}_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$，
$\mathbf{a}_2=\left(\begin{array}{c}3\\1\\1\end{array}\right)$，
$\mathbf{a}_3=\left(\begin{array}{c}2\\1\\-3\end{array}\right)$
からなる組にGram-Schmidtの方法を適用する．まず
$\mathbf{e}_1=\dfrac{1}{\|\mathbf{a}_1\|}\mathbf{a}_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$
$\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{e}_1=\dfrac{4}{\sqrt{2}}$ より
$\mathbf{b}_2=\mathbf{a}_2-(\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{e}_1)\mathbf{e}_1\\
\hspace{10pt}=\left(\begin{array}{c}3\\1\\1\end{array}\right)-\dfrac{4}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)\\
\hspace{10pt}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)$
$\mathbf{e}_2=\dfrac{1}{\|\mathbf{b}_2\|}\mathbf{b}_2=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)$
$\mathbf{a}_3\cdot\mathbf{e}_1=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$，
$\mathbf{a}_3\cdot\mathbf{e}_2=\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ より
$\mathbf{b}_3=\mathbf{a}_3-(\mathbf{a}_3\cdot\mathbf{e}_1)\mathbf{e}_1-(\mathbf{a}_3\cdot\mathbf{e}_2)\mathbf{e}_2\\
\hspace{10pt}=\left(\begin{array}{c}2\\1\\-3\end{array}\right)
-\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)
-\dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)\\
\hspace{10pt}=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-1\end{array}\right)$
$\mathbf{e}_3=\dfrac{1}{\|\mathbf{b}_3\|}\mathbf{b}_3=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-1\end{array}\right)$
以上より
$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}=
\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right),\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right),\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-1\end{array}\right)\right\}$
が得られた．
これは$\mathbf{R}^3$ の正規直交基底である．
-
上の例で $\mathbf{a}_3$ だけ取り換えて
$\mathbf{a}_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$，
$\mathbf{a}_2=\left(\begin{array}{c}3\\1\\1\end{array}\right)$，
$\mathbf{a}_3=\left(\begin{array}{c}5\\2\\1\end{array}\right)$
とすると
$\mathbf{e}_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$，
$\mathbf{e}_2=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)$
まで同じであるが，
$\mathbf{a}_3\cdot\mathbf{e}_1=\dfrac{6}{\sqrt{2}}$，
$\mathbf{a}_3\cdot\mathbf{e}_2=\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ より
$\mathbf{b}_3=\mathbf{a}_3-(\mathbf{a}_3\cdot\mathbf{e}_1)\mathbf{e}_1-(\mathbf{a}_3\cdot\mathbf{e}_2)\mathbf{e}_2\\
\hspace{10pt}=\left(\begin{array}{c}5\\2\\1\end{array}\right)
-\dfrac{6}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)
-\dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)\\
\hspace{10pt}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$
と，3本目は零ベクトルになってしまう．
このことは，$\mathbf{a}_3$ が $\mathbf{e}_1$ と $\mathbf{e}_2$ の(従って$\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の)線型結合で表せる，
すなわち元の組 $\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}$ が一次従属(一次独立でない)ことを意味している．
一般に，与えられたベクトルの組が一次独立であるかどうかを判断するには多少の作業が必要であるが，
構わずにともかくGram-Schmidtの方法を実行して(零ベクトルが現れたらそのベクトルは捨てる)その結果により一次独立性を判断してもよい．
今の例では計算の結果 $\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}$ は一次従属(従って $\mathbf{R}^3$ の基底ではない)とわかり，
正規直交基底ではないが正規直交系 $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$ は得られたということになる．