直交補空間
$(V,(\cdot,\cdot))$ を $K(=\mathbf{R}\ \mathrm{or}\ \mathbf{C})$ をスカラーとする内積空間とする．
すなわち，$V$ は内積
$(\mathbf{v},\mathbf{v}'),\quad\mathbf{v},\mathbf{v}'\in V$
が定義されたベクトル空間である．
$W$ を $V$ の部分空間とするとき
$W^\bot\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,\mathbf{v}\in V\,|\,(\mathbf{v},\mathbf{w})=0,\ \forall\mathbf{w}\in W\,\}$
により定義される部分空間 $W^\bot$ を $W$ の
直交補空間という．
すなわち， $W^\bot$ は $W$ のすべてのベクトルと直交するようなベクトルの集合である．
この定義は
$W^\bot\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,\mathbf{v}\in V\,|\,(\mathbf{w},\mathbf{v})=0,\ \forall\mathbf{w}\in W\,\}$
と書いてもよい．当たり前だと思うかも知れないが(実際当たり前ではあるが)，今はスカラーが $\mathbf{C}$ の場合も想定しており，その場合は内積も複素数であって
$(\mathbf{w},\mathbf{v})=\overline{(\mathbf{v},\mathbf{w})}$
と，一般には左右を入れ替えると値が異なることには注意が必要である(右辺は複素共役を表す)．
しかし，$0$ の複素共役はもちろん $0$ であるから
$(\mathbf{w},\mathbf{v})=0\ \Leftrightarrow (\mathbf{v},\mathbf{w})=0$
が成り立ち，従って今の場合はどちらを書いても同じことなのである．
また，
$\mathbf{R}^n$ のようにスカラーが $\mathbf{R}$ の場合は内積も実数なので
$(\mathbf{w},\mathbf{v})=(\mathbf{v},\mathbf{w})$
が常に成り立ち，左右を気にする必要はない．
$W^\bot$ が確かに部分空間であることは次のように確かめられる．
スカラーを $K$ とし，
$\mathbf{v},\mathbf{v}'\in W^\bot,\ k,k'\in K$ とすると，任意の $\mathbf{w}\in W$ に対して，$(\mathbf{v},\mathbf{w})=0$，$(\mathbf{v}',\mathbf{w})=0$ および内積の性質により
$(k\mathbf{v}+k'\mathbf{v}',\mathbf{w})
=k(\mathbf{v},\mathbf{w})+k'(\mathbf{v}',\mathbf{w})\\
\hspace{60pt}=k\cdot0+k'\cdot0=0$
となり，これは $k\mathbf{v}+k'\mathbf{v}'\in W^\bot$ を意味する．
次が成り立つ．
| $\mathrm{(i)}$ |
$V^\bot=\{\,\mathbf{0}\,\}$，$\{\,\mathbf{0}\,\}^\bot=V$
|
| $\mathrm{(ii)}$ |
$W\cap W^\bot=\{\,\mathbf{0}\,\}$
|
| $\mathrm{(iii)}$ |
すべての $\mathbf{v}\in V$ は
$\mathbf{v}=\mathbf{w}+\mathbf{w}^\bot\quad(\mathbf{w}\in W,\ \mathbf{w}^\bot\in W^\bot)$
と一意的に表される
|
| $\mathrm{(iv)}$ |
$(W^\bot)^\bot=W$
|
| $\mathrm{(v)}$ |
$\dim{W}+\dim{W^\bot}=\dim{V}$
|
これらは $\mathbf{R}^2$，$\mathbf{R}^3$ における具体的な計算の中で確かめれば十分とは思うが，念のために一般の内積空間において成り立つことを確かめておく．
| $\mathrm{(i)}$ |
零ベクトルは $V$ のすべてのベクトルと直交する．実際，内積の性質により，任意の $\mathbf{v}\in V$ に対して
$(\mathbf{0},\mathbf{v})=(\mathbf{v}-\mathbf{v},\mathbf{v})=(\mathbf{v},\mathbf{v})-(\mathbf{v},\mathbf{v})=0$
が成り立つ．
逆に $V$ のすべてのベクトルと直交するベクトルは零ベクトルしかない．
実際，$\{\,\mathrm{u}_1,\mathrm{u}_2,\ldots,u_n\,\}$ を $V$ の正規直交基底とし，$\mathbf{v}\in V^\bot$ とすると
$(\mathbf{v},\mathbf{u}_1)=(\mathbf{v},\mathbf{u}_2)=\cdots=(\mathbf{v},\mathbf{u}_n)=0$
でなければならないので
$\mathbf{v}=(\mathbf{v},\mathbf{u}_1)\mathbf{u}_1+(\mathbf{v},\mathbf{u}_2)\mathbf{u}_2+\cdots+(\mathbf{v},\mathbf{u}_n)\mathbf{u}_n\\
\hspace{6pt}=0\mathbf{u}_1+0\mathbf{u}_2+\cdots+0\mathbf{u}_n=\mathbf{0}$
となる．
|
| $\mathrm{(ii)}$ |
$\mathbf{v}\in W\cap W^\bot$ ならば $(\mathbf{v},\mathbf{v})=0$ でなければならないので，内積の性質より $\mathbf{v}=\mathbf{0}$ である．
|
| $\mathrm{(iii)}$ |
$\{\,\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_m\,\}$ を $W$ の正規直交基底とし，これを含むように $V$ の正規直交基底 $\{\,\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_m,\mathbf{u}_{m+1},\ldots,,\mathbf{u}_n\,\}$ をとる．
このとき，任意に与えられた $v\in V$ に対して
$\mathbf{w}=(\mathbf{v},\mathbf{u}_1)\mathbf{u}_1+\cdots+(\mathbf{v},\mathbf{u}_m)\mathbf{u}_m$
$\mathbf{w}^\bot=(\mathbf{v},\mathbf{u}_{m+1})\mathbf{u}_{m+1}+\cdots+(\mathbf{v},\mathbf{u}_n)\mathbf{u}_n$
とおくと，$\mathbf{v}=\mathbf{w}+\mathbf{w}^\bot$，$\mathbf{w}\in W$ であって，$\{\,\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_n\,\}$ の正規直交性により $\mathbf{w}^\bot\in W^\bot$ であるとわかる．また
$\mathbf{v}=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_1^\bot=\mathbf{w}_2+\mathbf{w}_2^\bot$$\quad(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2\in W,\mathbf{w}_1^\bot,\mathbf{w}_2^\bot\in W^\bot)$
と二通りに表されたとすると
$\mathbf{w}_1-\mathbf{w}_2=\mathbf{w}_2^\bot-\mathbf{w}_1^\bot$
であるが，左辺は $W$ に属し右辺は $W^\bot$ に属するので，$\mathrm{(ii)}$ より
$\mathbf{w}_1-\mathbf{w}_2=\mathbf{w}_2^\bot-\mathbf{w}_1^\bot=\mathbf{0}$
でなければならない．これより一意性が従う．
|
| $\mathrm{(iv)}$ |
$\mathbf{v}\in W$ とすると，これは $W^\bot$ のすべてのベクトルと直交するので $\mathbf{v}\in (W^\bot)^\bot$ である．
$\mathbf{v}\notin W$ とすると，$\mathbf{v}=\mathbf{w}+\mathbf{w}^\bot$ $(\mathbf{w}\in W,\mathbf{w}^\bot\in W^\bot)$ と表わしたとき $\mathbf{w}^\bot\neq\mathbf{0}$ であるから
$(\mathbf{v},\mathbf{w}^\bot)=(\mathbf{w},\mathbf{w}^\bot)+(\mathbf{w}^\bot,\mathbf{w}^\bot)=(\mathbf{w}^\bot,\mathbf{w}^\bot)\neq 0$
従って $\mathbf{v}\notin(W^\bot)^\bot$ である．
|
| $\mathrm{(v)}$ |
$\mathrm{(iii)}$ より明らかであろう．
|
$W=\langle\,\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_m\,\rangle$ と表わされているときは
$W^\bot=\{\,\mathbf{v}\in V\,|\,(\mathbf{v},\mathbf{w}_1)=(\mathbf{v},\mathbf{w}_2)=\cdots=(\mathbf{v},\mathbf{w}_m)=0\,\}$
となる
詳しく！．
$\mathbf{v}\in \langle\,\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_m\,\rangle^\bot$ ならばもちろん $(\mathbf{v},\mathbf{w}_1)=(\mathbf{v},\mathbf{w}_2)=\cdots=(\mathbf{v},\mathbf{w}_m)=0$ である．逆に，$(\mathbf{v},\mathbf{w}_1)=(\mathbf{v},\mathbf{w}_2)=\cdots=(\mathbf{v},\mathbf{w}_m)=0$ ならば，任意のスカラー $k_1,k_2,\ldots,k_m$ に対して
$(\mathbf{v},k_1\mathbf{w}_1+k_2\mathbf{w}_2+\cdots+k_m\mathbf{w}_m)\\
\hspace{30pt}=\overline{k_1}(\mathbf{v},\mathbf{w}_1)+\overline{k_2}(\mathbf{v},\mathbf{w}_2)+\cdots+\overline{k_m}(\mathbf{v},\mathbf{w}_m)\\
\hspace{30pt}=\overline{k_1}\cdot0+\overline{k_2}\cdot0+\cdots+\overline{k_m}\cdot0=0
$
となり，
スカラーが $\mathbf{R}$ のときは気にしなくてもよいが，スカラーが $\mathbf{C}$ のときは
$(\mathbf{v},k\mathbf{w})
=\overline{(k\mathbf{w},\mathbf{v})}
=\overline{k}\overline{(\mathbf{w},\mathbf{v})}
=\overline{k}(\mathbf{v}.\mathbf{w})$
である．
これは $\mathbf{v}\in \langle\,\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_m\,\rangle^\bot$ であることを意味する．
一般に $(W^\bot)^\bot=W$ が成り立つことに注意すると，逆に
$W=\{\,\mathbf{v}\in V\,|\,(\mathbf{v},\mathbf{u}_1)=(\mathbf{v},\mathbf{u}_2)=\cdots=(\mathbf{v},\mathbf{u}_l)=0\,\}$
と表わされているときは $W^\bot=\langle\,\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_l\,\rangle$ となることがわかる．
$\mathbf{R}^n$ (内積はドット積)においては，
$\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_m\in\mathbf{R}^n$ に対して
$W=\{\,\mathbf{x}\,|\,\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{x}=\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{x}=\cdots=\mathbf{a}_m\cdot\mathbf{x}=\mathbf{0}\,\}$
と
$W'=\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_m\,\rangle$
は互いに直交補空間の関係にあることになる：
$(W)^\bot=W'$，$(W')^\bot=W$
-
$\mathbf{R}^2$ (内積はドット積)において
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\,\right|\,2x-y=0\,\right\}$
とすると，これを
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\,\right|\,\left(\begin{array}{c}2\\-1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=0\,\right\}$
と書くと，$W$ は $\left(\begin{array}{c}2\\-1\end{array}\right)$ と直交するベクトルの集合と見ることができる．従って
$W^\bot=\left\langle\,\left(\begin{array}{c}2\\-1\end{array}\right)\,\right\rangle=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\,\right|\,x+2y=0\,\right\}$
であり，$\left\{\,\left(\begin{array}{c}2\\-1\end{array}\right)\,\right\}$ は$W^\bot$ の基底である．$2x-y=0$ と $x+2y=0$ が互いに原点で直交する直線を表す式であることに注意．
-
$\mathbf{R}^3$ (内積はドット積)において
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x+y-2z=0\,\right\}$
とすると，これは
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=0\,\right\}$
と見ることができるので
$W^\bot
=\left\langle\,\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)\,\right\rangle$
であり，$\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)\,\right\}$ は$W^\bot$ の基底である．また，$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)$ から $t$ を消去して $x=y=-\dfrac{z}{2}$ が得られるので
$W^\bot
=
\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x=y=-\dfrac{z}{2}\,\right\}$
とも表せる．
$xyz$ 空間において，$x+y-2z=0$ は $\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)$ を法線ベクトルとする平面を表す式であることに注意．
$x=y=-\dfrac{z}{2}$ は原点を通りベクトル $\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)$ と平行な(従って平面 $x+y-2z=0$ と垂直な)直線を表す．
-
$\mathbf{R}^3$ (内積はドット積)において
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,\dfrac{x}{3}=-y=\dfrac{z}{2}\,\right\}$
とすると，これは
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,\begin{array}{l}x+3y=0\\2y+z=0\end{array}\,\right\}\\
\hspace{10pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,\left(\begin{array}{c}1\\3\\0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=0\,\right\}$
と見ることができるので
$W^\bot
=\left\langle\,\left(\begin{array}{c}1\\3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)\,\right\rangle$
であり，$\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)\,\right\}$ は$W^\bot$ の基底である．また
$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}1\\3\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)$
から $s,t$ を消去して $3x-y+2z=0$ が得られるので
$W^\bot
=
\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,3x-y+2z=0\,\right\}$
とも表せる．
$xyz$ 空間において，直線 $\dfrac{x}{3}=-y=\dfrac{z}{2}$ は原点を通りベクトル $\left(\begin{array}{c}3\\-1\\2\end{array}\right)$ と平行な(従って平面 $3x-y+2z=0$ と垂直な)直線を表すことに注意．
$\mathbf{R}^3$ (内積はドット積) において
$W=\left\langle\,\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}5\\3\\1\end{array}\right)\,\right\rangle$
の直交補空間の基底を求めよう．
$\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}5\\3\\1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=0\\
\hspace{30pt}\Leftrightarrow\ \left(\begin{array}{ccc}1&0&-1\\2&1&0\\5&3&1\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)
$
より
$W^\bot=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,\left(\begin{array}{ccc}1&0&-1\\2&1&0\\5&3&1\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\,\right\}$
と表わせるから，この形の部分空間の基底の求め方は今までに見てきた通りである．すなわち
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&0\\2&1&0&0\\5&3&1&0\end{array}\right)\\
\hspace{30pt}\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&0\\0&1&2&0\\0&3&6&0\end{array}\right)\ \begin{array}{l}[\,\mathrm{r}_1\stackrel{\times (-2)}{\to}\mathrm{r}_2\,]\\ [\,\mathrm{r}_1\stackrel{\times (-5)}{\to}\mathrm{r}_3\,]\end{array}\\
\hspace{30pt}\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&0\\0&1&2&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\ [\,\mathrm{r}_2\stackrel{\times (-3)}{\to}\mathrm{r}_3\,]$
より $z=t$ とおいて $\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)$，従って $W^\bot$ の基底として $\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)\,\right\}$ がとれる．
この計算により
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x-2y+z=0\,\right\}$
$W^\bot=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x=-\dfrac{y}{2}=z\,\right\}$
とそれぞれ表されることもわかった．
直交射影
前節の注意3で見たように，すべての $\mathbf{v}\in V$ は
$\mathbf{v}=\mathbf{w}+\mathbf{w}^\bot\quad(\mathbf{w}\in W,\ \mathbf{w}^\bot\in W^\bot)$
と一意的に表されるが，各 $\mathbf{v}$ に対してこの $\mathbf{w}$ を対応させる線型写像を $V$ から $W$ への
直交射影といい，$f_{P_W}$ と表わす．
$W$ の正規直交基底を $\{\,\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_m\,\}$ とすると
$f_{P_W}(\mathbf{v})=(\mathbf{v},\mathbf{u}_1)\mathbf{u}_1+(\mathbf{v},\mathbf{u}_2)\mathbf{u}_2+\cdots+(\mathbf{v},\mathbf{u}_m)\mathbf{u}_m$
である(
前節注意3参照)．
このことから $f_{P_W}$ が確かに線型写像であることがわかる．
$V=\mathbf{R}^n$ (内積はドット積)の場合は $f_{P_W}$ は実行列で表されるから，その行列を $P_W$ と書くことにしよう．このとき，$P_W$ は $W$ の正規直交基底 $\{\,\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_m\,\}$ により
$P_W=\mathbf{u}_1{}^t\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2{}^t\mathbf{u}_2+\cdots+\mathbf{u}_m{}^t\mathbf{u}_m$
で与えられる
詳しく！．
ここで，$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{array}\right)$ に対し ${}^t\mathbf{u}=(u_1\ u_2\ \cdots\ u_n)$ である．ベクトル $\mathbf{u}$ を $n\times 1$ 行列と見て，${}^t\mathbf{u}$ をその転置行列と考えるのである．
この表記を用いると
$\mathbf{u}{}^t\mathbf{u}
=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}u_1&u_2&\cdots&u_n\end{array}\right)\\
\hspace{16pt}=\left(\begin{array}{cccc}u_1u_1&u_1u_2&\cdots&u_1u_n\\u_2u_1&u_2u_2&\cdots&u_2u_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
u_nu_1&u_nu_2&\cdots&u_nu_n\end{array}\right)$
は $n\times n$ 行列であって
，
通常通りの行列の計算だが，特に
$\left(\begin{array}{cc}a&b\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right)=ac+bd$
$\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac&ad\\bc&bd\end{array}\right)$
などに注意．
$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{array}\right)$ に対して
$\mathbf{u}{}^t\mathbf{u}\mathbf{v}
=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}u_1&u_2&\cdots&u_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{array}\right)\\
\hspace{22pt}=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n\end{array}\right)\\
\hspace{22pt}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u})\mathbf{u}$
が成り立つから
$P_W\mathbf{v}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_1)\mathbf{u}_1+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_2)\mathbf{u}_2+\cdots+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_m)\mathbf{u}_m\\
\hspace{20pt}=\mathbf{u}_1{}^t\mathbf{u}_1\mathbf{v}+\mathbf{u}_2{}^t\mathbf{u}_2\mathbf{v}+\cdots+\mathbf{u}_m{}^t\mathbf{u}_m\mathbf{v}\\
\hspace{20pt}=(\mathbf{u}_1{}^t\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2{}^t\mathbf{u}_2+\cdots+\mathbf{u}_m{}^t\mathbf{u}_m)\mathbf{v}$
となる，これより
$P_W=\mathbf{u}_1{}^t\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2{}^t\mathbf{u}_2+\cdots+\mathbf{u}_m{}^t\mathbf{u}_m$
とわかる．
$P_W$ については次が成り立つ．
| $\mathrm{(i)}$ |
$P_W+P_{W^\bot}=E$ (単位行列)
|
| $\mathrm{(ii)}$ |
$\mathbf{v}\in W\ \Leftrightarrow\ P_W\mathbf{v}=\mathbf{v}$
$\mathbf{v}\in W^\bot\ \Leftrightarrow\ P_W\mathbf{v}=\mathbf{0}$
|
| $\mathrm{(iii)}$ |
${P_W}^2=P_W$
|
| $\mathrm{(iv)}$ |
$P_W$ は対称行列である．すなわち ${}^tP_W=P_W$ が成り立つ．
|
これらも念のために確認しておこう．
以下，$\mathbf{v}\in\mathbf{R}^n$ は $\mathbf{v}=\mathbf{w}+\mathbf{w}^\bot\ (\mathbf{w}\in W,\mathbf{w}^\bot\in W^\bot)$ と表わされているものとする．
このとき $P_W\mathbf{v}=\mathbf{w}$，$P_{W^\bot}\mathbf{v}=\mathbf{w}^\bot$ である．
| $\mathrm{(i)}$ |
$(P_W+P_{W^\bot})\mathbf{v}=P_W\mathbf{v}+P_{W^\bot}\mathbf{v}=\mathbf{w}+\mathbf{w}^\bot=\mathbf{v}$
より $P_W+P_{W^\bot}=E$．
|
| $\mathrm{(ii)}$ |
$\mathbf{v}\in W\ \Leftrightarrow\ \mathbf{v}=\mathbf{w}\ \Leftrightarrow P_W\mathbf{v}=\mathbf{v}$
$\mathbf{v}\in W^\bot\ \Leftrightarrow\ \mathbf{v}=\mathbf{w}^\bot\ \Leftrightarrow P_W\mathbf{v}=\mathbf{0}$
|
| $\mathrm{(iii)}$ |
${P_W}^2\mathbf{v}=P_W\mathbf{w}=\mathbf{w}=P_W\mathbf{v}$
|
| $\mathrm{(iv)}$ |
転置行列に関する性質 ${}^t(A+B)={}^t\!A+{}^tB$，${}^t(AB)={}^tB\,{}^t\!A$，${}^t({}^t\! A)=A$ より
${}^tP_W={}^t\big(\mathbf{u}_1{}^t\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2{}^t\mathbf{u}_2+\cdots+\mathbf{u}_m{}^t\mathbf{u}_m\big)\\
\hspace{18pt}=\mathbf{u}_1{}^t\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2{}^t\mathbf{u}_2+\cdots+\mathbf{u}_m{}^t\mathbf{u}_m=P_W$
|
-
$\mathbf{R}^2$ (内積はドット積)において
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\,\right|\,x-2y=0\,\right\}$
とすると，$W$ の正規直交基底は $\left\{\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)\right\}$ がとれるから，$\mathbf{R}^2$ から $W$ への直交射影を表す行列は
$P_W
=\left(\begin{array}{c}\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{array}\right)$
となる．今
$W=\left\langle\,\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)\,\right\rangle$，
$W^\bot=\left\langle\,\left(\begin{array}{c}1\\-2\end{array}\right)\,\right\rangle$
であり
$P_W\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)$，
$P_W\left(\begin{array}{c}1\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$
となっていることを確認されたい．
-
$\mathbf{R}^3$ (内積はドット積)において
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x+y-2z=0\,\right\}$
とする．まず $W$ の正規直交基底を求めよう．
$x+y-2z=0$ で $y=s$，$z=t$ とおくと
$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)$
より，$W$ の基底として $\left\{\,\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)\,\right\}$ がとれ，これをSchmidtの方法で正規直交化して $\left\{\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right),\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\,\right\}$ が得られる．
よって，$\mathbf{R}^3$ から $W$ への直交射影を表す行列は
$P_W
=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)\\
\hspace{15pt}=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&0\end{array}\right)
+\dfrac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)\\
\hspace{15pt}=\dfrac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}5&-1&2\\-1&5&2\\2&2&2\end{array}\right)$
となる．上で調べたところによると
$W=\left\langle\,\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right).\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)\,\right\rangle
=\left\langle\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right).\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\,\right\rangle$
であった．
$P_W\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)$
$P_W\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)$
$P_W\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$
となっていることを確認されたい．また，$W$ の直交補空間 $W^\bot$ は
$W^\bot=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x=y=-\dfrac{z}{2}\,\right\}$
で，その正規直交基底は $\left\{\,\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)\,\right\}$ がとれるから，$\mathbf{R}^3$ から $W^\bot$ への直交射影を表す行列は
$P_{W^\bot}
=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\\-\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)\\
\hspace{20pt}=\dfrac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\1&1&-2\\-2&-2&4\end{array}\right)$
となる．次が成り立っていることを確認しておこう：
$P_W+P_{W^\bot}=E$ (単位行列)
$P_W\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$
$P_{W^\bot}\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)$
$P_{W^\bot}\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)
=P_{W^\bot}\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)
=P_{W^\bot}\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$