問題

1. 順序集合 $X$ の任意の部分集合 $A$ について，次を示せ．

   $\mathrm{(1)}$	$A$ が最大元 (最小元)をもつならば $A$ は上限(下限)ももち，両者は一致する．
   $\mathrm{(2)}$	$A$ の最大元・最小元・上限・下限は，それぞれ存在するならば唯一つである．

   解答

   $\mathrm{(1)}$	$M=\max{A}$ が存在するとき $\forall x\in A,\ x\le M$ より $M$ は $A$ の上界である． また，$u\in X$ を $A$ の任意の上界とすると $M\in A$ より $M\le u$ でなければならない．従って $M$ は $A$ の最小の上界，すなわち上限である．
   $\mathrm{(2)}$	$M,\ M'$ がともに $A$ の最大元であったとすると，$M'\le M$ かつ $M\le M'$，従って $M=M'$ が成り立つ．最小元についても同様． また，上限・下限はそれぞれ最小の上界・最大の下界のことであったから，やはり存在するならば唯一つである．

2. $\mathbf{Q}$ において，次の部分集合は最大元，最小元，上限，下限のいずれももたないことを示せ：
   $A=\{\,p\in\mathbf{Q}\,|\,p^2 < 2\,\}$， $\overline{A}=\{\,p\in\mathbf{Q}\,|\,p^2 \le 2\,\}$
   解答
   最大元・最小元が存在するならばそれらはそれぞれ上限・下限でもあるから，与えられた集合が上限・下限をもたないことを示せばよい．また，$p^2=2$ となる $p\in\mathbf{Q}$ は存在しないことから $A=\overline{A}$ であるので，$A$ について示せば十分である．
   $A$ が上限 $s=\sup{A}\in\mathbf{Q}$ をもつとする． もし $s^2 < 2$ ならば，$\varepsilon\in\mathbf{Q}$ を

   $0 < \varepsilon < \min\left\{\,1,\ \dfrac{2-s^2}{2|s|+1}\,\right\}$

   を満たすようにとると

   $(s+\varepsilon)^2=s^2+\varepsilon(2s+\varepsilon) < s^2 + \varepsilon(2|s|+1) < s^2 + (2-s^2) = 2$

   より $p+\varepsilon \in A$ となり，$s$ が $A$ の上界であることに反する． また，$2 < s^2$ ならば，$\varepsilon\in\mathbf{Q}$ を

   $0 < \varepsilon < \min\left\{\,1,\ \dfrac{s^2-2}{2|s|+1}\,\right\}$

   を満たすようにとると

   $(s-\varepsilon)^2=s^2-\varepsilon(2s-\varepsilon) > s^2 - \varepsilon(2|s|+1) > s^2 - (s^2-2) = 2$

   より $p-\varepsilon$ が $A$ の上界となり，$s$ が $A$ の最小の上界であることに反する． 以上より $s^2=2$ ということになるが，そのような $s\in\mathbf{Q}$ は存在しない． 下限についても同様である．
3. 順序体において，Cauchy列は有界である．特に，収束点列は有界である．このことを示せ．
   解答
   順序体 $X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ がCauchy列であるとは

   $\forall \varepsilon\in X_+,\ \exists N\in\mathbf{N},\ m,n\ge N\ \Rightarrow\ |x_m-x_n| < \varepsilon$

   が成り立つことをいうのであった．特に，$1\in X_+$ であるから

   $m,n\ge N\ \Rightarrow\ |x_m-x_n| < 1$

   となる $N\in\mathbf{N}$ が存在する．そこで

   $R=\max\{\,|x_1|,\ |x_2|,\,\ldots\,|x_{N-1}|,\ |x_N|+1\,\}$

   とおくと $n\ge N$ ならば

   $|x_n| \le |x_N|+|x_N-x_n|\le |x_N|+1\le R$

   なので $\forall n\in\mathbf{N},\ |x_n|\le R$ が成り立つことになり，$R$，$-R$ がそれぞれ $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の上界，下界であるから，$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は有界である．
4. Archimedes的順序体において，上に有界な単調非減少点列(および下に有界な単調非増加点列)はCauchy列である．このことを示せ．
   解答
   Archimedes的順序体 $X$ の単調非減少点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が上界 $R$ をもつとする． もし $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ がCauchy列でないとすると

   $\forall N\in\mathbf{N}\,\ \exists m,n\ge N,\ |x_m-x_n| \ge \varepsilon$

   となる $\varepsilon\in X_+$ が存在する．このとき，$1\le n_1 < n_2$ であって

   $x_{n_2}\ge x_{n_1}+\varepsilon$

   となる $n_1,n_2\in\mathbf{N}$ が存在し，さらに $n_2\le n_3 < n_4$ であって

   $x_{n_4}\ge x_{n_3}+\varepsilon\ge a_{n_2}+\varepsilon \ge a_{n_1}+2\varepsilon$

   となる $n_3,n_4\in\mathbf{N}$ が存在する．これを繰り返すことで，任意の $N\in\mathbf{N}$ に対して $x_n\ge N\varepsilon$ となる $n\in\mathbf{N}$ が存在することがわかる． ところが，Archimedesの原理により $N\in\mathbf{N}$ が十分大きければ $N\varepsilon > R$ となるので，このとき $x_n > R$ なる $n\in\mathbf{N}$ が存在するすることになり，$R$ が上界であることに反する．
   下に有界な単調非増加点列についても同様．
5. $\mathbf{N}$ が整列集合であること，すなわち $\mathbf{N}$ の空でない部分集合は最小元をもつことを既知として，次を示せ．

   $\mathrm{(i)}$	整数における除法の原理 $m\in\mathbf{Z},\ n\in\mathbf{N}$ とするとき，$m=Nn+r,\ 0\le r < n$ を満たす $N,r\in \mathbf{Z}$ が一意に存在する．
   $\mathrm{(ii)}$	任意の $q\in \mathbf{Q}$ に対して $N \le q < N+1$ となる $N\in \mathbf{Z}$ が存在する．

   解答

   $\mathrm{(1)}$

   $A=\big\{\,k\in\mathbf{N}\,\big|\,|m| < (k+1)n\,\big\}$ とおく．例えば $|m| < (|m|+1)n$ が成り立つので $A\neq\emptyset$ である．よって $A$ は最小元 $N$ をもつ．このとき $N-1\notin A$ なので $Nn\le |m| < (N+1)n$ が成り立つ．そこで $r=|m|-Nn$ とおけば $|m| = Nn+r,\quad 0\le r < n$ となる． よって $m\ge 0$ のときは $m = Nn+r,\quad 0\le r < n$ が成り立っており，$m < 0$ のときは $-m = Nn+r,\quad 0\le r < n$ となるが，$r=0$ であれば $m=-Nn$ $0 < r < n$ であれば $m = -Nn-r=-(N+1)n+n-r,\quad 0 < n-r < n$ が成り立ち，いずれの場合も条件を満たす． 一意性を示す． $m = Nn+r,\quad 0\le r < n$ $m = N'n+r',\quad 0\le r' < n$ と二通りに表されたとする．このとき $(N-N')n=r'-r$ となるが，$-n < r'-r < n$ より $N-N'=0$，従って $r'-r=0$ でなければならない．

   $\mathrm{(2)}$

   $q\in\mathbf{Q}$ を $q=\dfrac{m}{n},\ m\in\mathbf{Z},\ n\in\mathbf{N}$ と表すと，除法の原理により $m=Nn+r,\ 0\le r < n$ となる $N,r\in\mathbf{Z}$ が存在し，このとき $N=\dfrac{Nn}{n}\le \dfrac{m}{n}= \dfrac{Nn+r}{n} < N+1$ が成り立っている．

6. 順序体 $X$ において，単調非減少点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の上限 $\displaystyle s=\sup_{n\in\mathbf{N}}x_n$ が存在するならば
   $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=s$
   が成り立つ． 逆に，単調非減少点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が収束するならば，その極限点は $\displaystyle \sup_{n\in\mathbf{N}}x_n$ に等しい．このことを示せ．
   解答
   $\displaystyle s=\sup_{n\in\mathbf{N}}x_n$ が存在するとき，任意の $\varepsilon\in X_+$ に対して，$s-\varepsilon$ は $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の上限ではないから $s-\varepsilon < x_N$ となる $N\in\mathbf{N}$ が存在し，このとき，$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が単調非減少であることから

   $n\ge N\ \Rightarrow\ |s-x_n| = s-x_n \le s-x_N < \varepsilon$

   が成り立つ．
   逆に，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$ とする．このとき $x$ は $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の上界である．なぜなら，$x < x_N$ なる $N\in\mathbf{N}$ が存在するならば，$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が単調非減少であることから

   $n\ge N\ \Rightarrow\ x < x_N\le x_n$

   ということになり，$(x_n)$ は $x$ 収束し得ないからである．さらに，任意の $\varepsilon\in X_+$ に対して，$\displaystyle \lim_{n\in\mathbf{N}}x_n=x$ により $x-\varepsilon < x_n$ なる $n\in\mathbf{N}$ が存在する．これは $\displaystyle x=\sup_{n\in\mathbf{N}}x_n$ であることを意味する．
7. $\mathbf{Q}$ のすべての部分集合からなる集合を $\mathcal{P}(\mathbf{Q})$ と表す． $\mathcal{P}(\mathbf{Q})$ は
   $A\le B\ \stackrel{\mathrm{def}}{\iff}\ A\subset B$
   により定まる関係により順序集合となる． これについて，以下の問いに答えよ．

   $\mathrm{(1)}$	次に与えられる $\mathcal{P}(\mathbf{Q})$ の点列の上限および下限を求めよ $\mathrm{(a)}$ $A_n=\Big\{\,p\in\mathbf{Q}\,\Big|\,\Big|p-\frac{1}{n}\Big| \le 1\,\Big\}\quad(n=1,2,\ldots)$ $\mathrm{(b)}$ $B_n=\big\{\,p\in\mathbf{Q}\,\big|\,p < n\,\big\}\quad(n=1,2,\ldots)$
   $\mathrm{(2)}$	$\mathcal{P}(\mathbf{Q})$ の任意の(空でない)部分集合は上限および下限をもつことを示せ．

   解答

   $\mathrm{(1)}$

   $\mathrm{(i)}$ $\displaystyle \sup_{n\in\mathbf{N}}A_n=\{\,p\in\mathbf{Q}\,|\,-1 < p \le 2\,\}$，$\displaystyle \inf_{n\in\mathbf{N}}A_n=\{\,1\,\}$ $\mathrm{(ii)}$ $\displaystyle \sup_{n\in\mathbf{N}}B_n=\mathbf{Q}$，$\displaystyle \inf_{n\in\mathbf{N}}B_n=\emptyset$

   $\mathrm{(2)}$

   $\Omega=\{\,A_\lambda\,|\, \lambda\in\Lambda\,\}\subset \mathcal{P}(\mathbf{Q})$ とするとき $\displaystyle S=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ とおけば，$S\in\mathcal{P}(\mathbf{Q})$ であって，$S=\sup\Omega$ である． 実際，$\forall \lambda\in\Lambda,\ A_\lambda\le S$ が成り立つので $S$ は $\Omega$ の上界であり，$S' < S$ すなわち $\displaystyle S'\subsetneq \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ ならば $A_\lambda\subsetneq S'$ なる $\lambda\in\Lambda$ が存在し，従って $S'$ は $\Omega$ の上界ではない．また $\displaystyle I=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ とおけば，$I\in\mathcal{P}(\mathbf{Q})$ であって，$I=\inf\Omega$ である． 実際，$\forall \lambda\in\Lambda,\ I\le A_\lambda$ が成り立つので $I$ は $\Omega$ の下界であり，$I < I'$ すなわち $\displaystyle I \subsetneq \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ ならば $I'\subsetneq A_\lambda$ なる $\lambda\in\Lambda$ が存在し，従って $I'$ は $\Omega$ の下界ではない．