上限と下限

最大元と最小元順序集合 $\mathbf{X}$ の部分集合 $A$ の最大元とは

・$M\in A$
・$\forall a\in A,\ a\le M$

を満たす $M$ のことをいい，これを $\max{A}$ と表わす．また，$A$ の最小元とは

・$m\in A$
・$\forall a\in A,\ m\le a$

を満たす $m$ のことをいい，これを $\min{A}$ と表わす．

$\mathbf{N}$ は最小元をもつが，最大元をもたない．すなわち， $\min\mathbf{N}=1$ であり，$\max\mathbf{N}$ は存在しない．このことを論理記号で表すと，それぞれ
$\forall n\in\mathbf{N},\ 1\le n$

$\forall m\in\mathbf{N},\ \exists n\in\mathbf{N},\ m < n$
となる．
$\mathbf{Z}$， $\mathbf{Q}$ はともに最大元も最小元ももたない．
例えば「$\mathbf{Z}$ は最小元をもたない($\min\mathbf{Z}$ は存在しない)」ことを論理記号で表すと
$\forall m\in\mathbf{Z},\ \exists n\in\mathbf{Z},\ n < m$
となる．
$\mathbf{Q}$ において
$A=\{\,p\in\mathbf{Q}\,|\,p^2\le 4\,\}$

$B=\{\,p\in\mathbf{Q}\,|\,p^2 < 4\,\}$
とすると，$\max{A}=2,\ \min{A}=-2$ であるが $B$ は最大元も最小元ももたない．また
$C=\{\,p\in\mathbf{Q}\,|\,p^2 < 2\,\}$
とすると，$C$ もやはり最大元も最小元ももたない．

$B=\{\,p\in\mathbf{Q}\,|\,-2 < p < 2\,\}$
であるから，これが最大元も最大元ももたないことは
$p\in\mathbf{Q},\ -2 < p < 2\ \Rightarrow\ -2 < \dfrac{p-2}{2} < p < \dfrac{p+2}{2} < 2$
が成り立つことからわかる．補足

この
$p,q\in\mathbf{Q},\ p < q\ \Rightarrow\ \exists r\in\mathbf{Q},\ p < r < q$
すなわち「異なる二つの有理数の間にはまた有理数が存在する」という性質は $\mathbf{Q}$ の稠密性と呼ばれる．$\mathbf{Q}$ に限らず，一般の順序体がこの性質をもつこともすぐにわかるであろう．
　しかし，$C$ は少し厄介である．我々は「無理数」というものをまだ知らないという建前なので
$C=\{\,p\in\mathbf{Q}\,|\,-\sqrt{2} < p < \sqrt{2}\,\}$
と書くわけにはいかず，$C$ が最大元も最小元ももたないことはそれほど自明ではない(問題)．
　この後「実数」が完全に定義され，「$\mathbf{Q}$ は $\mathbf{R}$ の稠密な部分集合である」，すなわち任意の異なる二つの実数の間には必ず有理数が存在するという事実が既に得られている段階にくれば
$-\sqrt{2} < p < \sqrt{2}\ \Rightarrow\ \exists q,r\in\mathbf{Q},\ -\sqrt{2} < q < p < r < \sqrt{2}$
すなわち，任意の $p\in C$ に対して $q < p < r$ となる $q,r\in C$ が存在するから $C$ は最大元も最小元ももたない，という簡単な話になる．

練習1

上界と下界順序集合 $X$ の部分集合 $A$ の上界とは

$\forall a\in A,\ a\le u$

を満たすような $u\in X$ のことをいう．また，$A$ の下界とは

$\forall a\in A,\ l\le a$

を満たすような $l\in X$ のことをいう．上界をもつ集合を上に有界，下界をもつ集合を下に有界，上界・下界をともにもつ集合を有界であるという．

上限と下限順序集合 $X$ の部分集合 $A$ のすべての上界からなる集合を $\mathrm{U}(A)$ と表すとき，$A$ の上限 $\sup{A}$ を

$\sup{A}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\min\mathrm{U}(A)$

により定義する．すなわち上限とは最小の上界のことである．また，$A$ のすべての下界からなる集合を $\mathrm{L}(A)$ と表すとき，$A$ の下限 $\inf{A}$ を

$\inf{A}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\max\mathrm{L}(A)$

により定義する．すなわち下限とは最大の下界のことである．

練習2

点列の上限と下限順序集合 $X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ を

$\{\,x_n\,|\,n\in\mathbf{N}\,\}$

という集合とみなすことにより，その最大元・最小元，上界・下界，有界性，上限・下限を考えることができる．特に最大元・最小元，上限・下限はそれぞれ

$\displaystyle \max_{n\in\mathbf{N}}x_n,\quad \min_{n\in\mathbf{N}}x_n$， $\displaystyle \sup_{n\in\mathbf{N}}x_n,\quad \inf_{n\in\mathbf{N}}x_n$

のように表記される．

順序体においては特に次の事実が重要である(問題)：

順序体 $X$ において，点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が単調非減少何？であって，上限 $\displaystyle \sup_{n\in\mathbf{N}}x_n$ が存在するならば

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\sup_{n\in\mathbf{N}}x_n$

が成り立つ．

逆に，単調非減少点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が収束するならば，その極限点は $\displaystyle \sup_{n\in\mathbf{N}}x_n$ に等しい．

練習3

問題

$\mathrm{(a)}$	$\forall x\in A,\ x\le s$ かつ $\forall \varepsilon\in X_+,\ \exists x\in A,\ x > s-\varepsilon$
$\mathrm{(b)}$	$\forall x\in A,\ x\le s$ かつ $y < s\ \Rightarrow\ \ \exists x\in A,\ x > y$
$\mathrm{(c)}$	$\forall x\in A,\ x < s$ かつ $\forall \varepsilon\in X_+,\ \exists x\in A,\ x > s-\varepsilon$
$\mathrm{(d)}$	$\forall x\in A,\ x\le s$ かつ $\forall \varepsilon\in X_+,\ \exists x\in A,\ x \ge s-\varepsilon$

第3講 上限と下限

第3講　上限と下限