$(a_n)_{n\in\mathbf{N}}$ を $\mathbf{R}$ の任意のCauchy列とする．Cauchy列は有界であるから，特に，各 $n\in\mathbf{N}$ に対して第 $n$ 項から始まる数列 $(a_k)_{k\ge n}$ も有界であり，従ってその上限 $\displaystyle \sup_{k\ge n}a_k$
および下限 $\displaystyle \inf_{k\ge n}a_k$
が存在する．
$\displaystyle p_n=\sup_{k\ge n}a_k$
$\displaystyle q_n=\inf_{k\ge n}a_k$
とおこう．
このとき
$p_1 \ge p_2 \ge\ \cdots\ \ge p_n\ge\ \cdots\ \ge q_n\ge\ \cdots\ \ge q_2\ge q_1$
となり，
$(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は下に有界な単調減少数列なのでその下限 $p$ に，
$(q_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は上に有界な単調増加数列なのでその上限 $q$ に，それぞれ収束する．まず $p=q$ を示そう．
$p > q$ であったとし，$\eta=p-q > 0$ とおくと，任意の $N\in\mathbf{N}$ に対して，
$p_N-\dfrac{\eta}{3}$ は $(a_n)_{n\ge N}$ の上限ではないから
$p_N-\dfrac{\eta}{3} < a_m$
を満たす $m\ge N$ が，
$q_N+\dfrac{\eta}{3}$ は $(a_n)_{n\ge N}$ の下限ではないから
$a_n < q_N+\dfrac{\eta}{3}$
を満たす $n\ge N$ が存在する．このとき，$p_N\ge p$ および $q_N\le q$ に注意すると
$m,n\ge N$ かつ $a_m-a_n > p_N-q_N-\dfrac{2}{3}\eta\ge p-q-\dfrac{2}{3}=\dfrac{\eta}{3}$
が成り立っており，$N\in\mathbf{N}$ は任意だったからこれは $(a_n)_{n\in\mathbf{N}}$ がCauchy列であることに反する．
そこで，改めて $a=p=q$ とおくと
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n= \lim_{n\to\infty}q_n=a$
かつ
$\forall n\in\mathbf{N},\ q_n \le a_n\le p_n$
であるから，はさみうちの原理により $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a$ が成り立つ．