問題

1. 順序集合 $X$ が上限性質をもつことと下限性質をもつことは同値である． このことを示せ．
   解答
   $X$ が上限性質をもつとし，$A$ を $X$ の下に有界な空でない部分集合とすると，$A$ の下界からなる集合

   $L(A)=\{\,a\in X\,|\,\forall x\in X,\ a\le x\,\}$

   は上に有界で空でないから上限 $\sup{L(A)}$ をもつ． このとき，任意の $x\in A$ は $L(A)$ の上界であるから $\sup{L(A)}\le x$． また，$\sup{L(A)} < y$ とすると $y\notin L(A)$，すなわち $y$ は $A$ の下界ではないから $x < y$ となる $x\in A$ が存在する． よって $\sup{L(A)}$ は $A$ の下限である．
2. $x,y\in\mathbf{R}$，$y-x > 1$ ならば $x < n < y$ を満たす整数 $n$ が存在することを示せ．
   解答
   そのような整数 $n$ が存在しないとする．$\mathbf{R}$ がArchimedes的であることより$y < N$ なる $N\in\mathbf{Z}$ が存在する．このとき，仮定より $N-1\le x$ または $y\le N-1$ であるが， $N-1 \le x$ とすると $N \le x+1 < y$ となり不合理なので $y\le N-1$ である．この議論を繰り返すと

   $N > N-1 > N-2 >\ \cdots\ \ge y$

   ということになり，これは $\forall n\in\mathbf{Z},\ n\ge y$ を意味し，$\mathbf{R}$ がArchimedes的であることに反する．
3. 任意の正の実数 $a$ および自然数 $n$ に対して $x^n=a$ を満たす実数 $x$ が存在することを示せ．
   解答
   $\mathbf{R}$ の部分集合

   $A=\{\,x\in\mathbf{R}\,|\,x^n\le a\,\}$

   を考える．まず $0\in A$ ゆえ $A\neq\emptyset$ である．また，$a < N$ なる $N\in\mathbf{N}$ をとると(Archimedesの原理)，$N\le N^n$ ゆえ

   $x^n \le a\ \Rightarrow\ x^n < N^n $

   から $\forall x\in A,\ x < N$ が成り立ち，$A$ は上に有界である．よって $s=\sup{A}$ が存在するが，このとき $s^n=a$ が成り立つ．実際，$\forall x\in A,\ x\le s$ より

   $\forall k\in\mathbf{N},\ s+\dfrac{1}{k}\notin A$　すなわち　$a < \Big(s+\dfrac{1}{k}\Big)^n$

   よって $k\to\infty$ として $a\le s^n$．また，$\forall k\in\mathbf{N}$ に対して $s-\frac{1}{k}$ は $A$ の上界ではないから $s-\frac{1}{k} < x_k$ なる $x_k\in A$ が存在し，このとき

   $\Big(s-\dfrac{1}{k}\Big)^n < {x_k}^n \le a$

   からやはり $k\to\infty$ として $s^n\le a$ とわかる．
4. 順序体 $X$ において上に有界な任意の単調非減少点列が収束するならば，$X$ はArchimedes的である．このことを示せ．
   解答
   $X$ がArchimedes的でないとすると

   $\forall n\in\mathbf{N},\ n\varepsilon \le 1$

   が成り立つような $\varepsilon \in X_+$ が存在する． このとき，点列 $(n\varepsilon)_{n\in\mathbf{N}}$ は $1$ を上界に持ち，従って上に有界，しかも $\forall n\in\mathbf{N},\ (n+1)\varepsilon -n\varepsilon =\varepsilon > 0$ より単調非減少なので，仮定により

   $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\varepsilon=x$

   となる $x\in X$ が存在する． このとき

   $n\ge N\ \Rightarrow\ x-\varepsilon < n\varepsilon < x+\varepsilon$

   となる $N\in\mathbf{N}$ が存在し，従って $n\ge N\ \Rightarrow\ x < (n+1)\varepsilon$ から

   $x < (N+1)\varepsilon < (N+2)\varepsilon < (N+3)\varepsilon <\ \cdots$

   が成り立つことになるが，これは $(n\varepsilon)_{n\in\mathbf{N}}$ が $x$ に収束することに反する．
5. 順序体 $X$ において，次は同値であることを示せ：

   $\mathrm{(a)}$	$X$ は上限性質をもつ
   $\mathrm{(b)}$	上に有界な単調非減少点列は収束する(定理1)
   $\mathrm{(b')}$	下に有界な単調非増加点列は収束する
   $\mathrm{(c)}$	有界点列は収束する部分列をもつ(Bolzano-Weierstrass)

   解答
   • $\mathrm{(a)}\ \Rightarrow\ \mathrm{(b)}$，$\mathrm{(a)}\ \Rightarrow\ \mathrm{(c)}$ は本文中で示した．
   • $\mathrm{(b)}\ \Leftrightarrow\ \mathrm{(b')}$
     $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が上に有界な単調非減少点列ならば $(-x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は下に有界な単調非増加点列であるから明らかである．
   • $\mathrm{(b)}\ \Rightarrow\ \mathrm{(a)}$
     $A$ を $X$ の上に有界な空でない部分集合とし，$A$ のすべての上界からなる集合を $U(A)$ とおく．$U(A)\neq\emptyset$，$U(A)^c\neq\emptyset$ に注意して，$x_1\in U(A)^c$ および $y_1\in U(A)$ を任意にとり
     $\dfrac{x_1+y_1}{2}\in U(A)^c$ ならば $x_2=\dfrac{x_1+y_1}{2},\quad y_2=y_1$
     $\dfrac{x_1+y_1}{2}\in U(A)$ ならば $x_2=x_1,\quad y_2=\dfrac{x_1+y_1}{2}$
     と定める．以下同様にして，$x_n,y_n$ が定まったとき
     $\dfrac{x_n+y_n}{2}\in U(A)^c$ ならば $x_{n+1}=\dfrac{x_n+y_n}{2},\quad y_{n+1}=y_n$
     $\dfrac{x_n+y_n}{2}\in U(A)$ ならば $x_{n+1}=x_n,\quad y_{n+1}=\dfrac{x_n+y_n}{2}$
     と定める．こうして点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が得られ
     $x_1\le x_2\le\ \cdots\ \le x_n\le\ \cdots\ \le y_n\le\ \cdots\ \le y_2 \le y_1$
     かつ
     $y_n-x_n=\dfrac{y_1-x_1}{2^{n-1}}\quad(n=1,2,\ldots)$
     が成り立っている．このとき，$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は上に有界な単調非減少数列 ，$(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は下に有界な単調非増加数列であるから
     $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\tilde{x},\qquad\lim_{n\to\infty}y_n=\tilde{y}$
     となる $\tilde{x},\tilde{y}\in X$ が存在し，しかもArchimedesの原理(問題4)により $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{y_1-x_1}{2^n}=0$ であるから
     $\displaystyle \tilde{y}-\tilde{x}=\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{y_1-x_1}{2^n}=0$
     すなわち $\tilde{x}=\tilde{y}$ である． そこで，改めて $s=\tilde{x}=\tilde{y}$ とおき，$s=\sup{A}$ であることを示そう． $y_1,y_2,\ldots$ はすべて $A$ の上界であるから，$x\in A$ を任意にとるとき $\forall n\in\mathbf{N},\ x\le y_n$，従って $x\le s$ となり，$s$ は $A$ の上界である． また，$s' < s$ とすると，$s' < x_n$ となる $n\in\mathbf{N}$ が存在し，$x_n$ は $A$ の上界ではないから $s' < x_n < x$ となる $x\in A$ が存在する．すなわち $s'$ は $A$ の上界ではない．以上より $s=\sup{A}$ であることがわかった．
   • $\mathrm{(c)}\ \Rightarrow\ \mathrm{(b)}$
     $(a_n)_{n\in\mathbf{N}}$ を上に有界な単調非減少点列とする．$(a_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は $a_1$ を下界にもつので有界であり，従って仮定により収束部分列 $(a_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ が存在する．すなわち，$a\in X$ が存在して
     $\forall \varepsilon\in X_+,\ \exists K\in\mathbf{N},\ k\ge K\ \Rightarrow\ |a_{n_k}-a| < \varepsilon$
     が成り立つが，このとき，$N=n_K$ とおくと $(a_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が単調非減少であることから
     $n\ge N\ \Rightarrow\ |a_n-a| < \varepsilon$
     が成り立っている．なぜなら，$a < a_n$ なる $n\in\mathbf{N}$ が存在したとすると
     $a < a_n\le a_{n+1}\le a_{n+2}\le\ \cdots$
     ということになり $(a_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ が $a$ に収束することはあり得ず，従って $\forall n\in\mathbf{N},\ a_n\le a$ であって，単調非減少性より
     $a-\varepsilon < a_N\le a_{N+1}\le a_{N+2}\le \ \cdots\ \le a$
     となるからである．以上より結局
     $\forall \varepsilon\in X_+,\ \exists N\in\mathbf{N},\ n\ge N\ \Rightarrow\ |a_n-a| < \varepsilon$
     すなわち $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a$ が成り立つ．
6. Archimedes的順序体 $X$ において，次は同値であることを示せ：

   $\mathrm{(a)}$	$X$ は上限性質をもつ
   $\mathrm{(b)}$	任意のCauchy列は収束する(定理4)
   $\mathrm{(c)}$	$X$ の単調非減少点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ および 単調非増加点列 $(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が $\forall n\in\mathbf{N},\ x_n\le y_n$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0$ を満たすならば，これらの点列は同一の点に収束する(縮小区間定理)

   解答
   • $\mathrm{(a)}\ \Rightarrow\ \mathrm{(b)}$，$\mathrm{(a)}\ \Rightarrow\ \mathrm{(c)}$ は本文中で示した．
   • $\mathrm{(b)}\ \Rightarrow\ \mathrm{(c)}$
     単調非減少点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ および 単調非増加点列 $(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が
     $\forall n\in\mathbf{N},\ x_n\le y_n$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0$
     を満たしているとき，$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ はそれぞれ上に有界な単調非減少点列，下に有界な単調非増加点列であるからともにCauchy列である(第3講問題4)．従って仮定により
     $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x,\quad \lim_{n\to\infty}y_n=y$
     となる $x,y\in X$ が存在し，しかも
     $\displaystyle y-x=\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0$
     より $x=y$ である．
   • $\mathrm{(c)}\ \Rightarrow\ \mathrm{(a)}$
     $A$ を $X$ の上に有界な空でない部分集合とし，$A$ のすべての上界からなる集合を $U(A)$ とおく．$U(A)\neq\emptyset$，$U(A)^c\neq\emptyset$ に注意して，$x_1\in U(A)^c$ および $y_1\in U(A)$ を任意にとり
     $\dfrac{x_1+y_1}{2}\in U(A)^c$ ならば $x_2=\dfrac{x_1+y_1}{2},\quad y_2=y_1$
     $\dfrac{x_1+y_1}{2}\in U(A)$ ならば $x_2=x_1,\quad y_2=\dfrac{x_1+y_1}{2}$
     と定める．以下同様にして，$x_n,y_n$ が定まったとき
     $\dfrac{x_n+y_n}{2}\in U(A)^c$ ならば $x_{n+1}=\dfrac{x_n+y_n}{2},\quad y_{n+1}=y_n$
     $\dfrac{x_n+y_n}{2}\in U(A)$ ならば $x_{n+1}=x_n,\quad y_{n+1}=\dfrac{x_n+y_n}{2}$
     と定める．こうして得られる点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ はそれぞれ単調非減少，単調非増加であって， かつ Archimedesの原理により
     $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{y_1-x_1}{2^n}=0$
     が成り立っている，よって仮定により $s\in X$ が存在して
     $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=s$
     となる．$s=\sup{A}$ を示そう． $y_1,y_2,\ldots$ はすべて $A$ の上界であるから，$x\in A$ を任意にとるとき $\forall n\in\mathbf{N},\ x\le y_n$，従って $x\le s$ となり，$s$ は $A$ の上界である． また，$s' < s$ とすると，$s' < x_n$ となる $n\in\mathbf{N}$ が存在し，$x_n$ は $A$ の上界ではないから $s' < x_n < x$ となる $x\in A$ が存在する．すなわち $s'$ は $A$ の上界ではない．以上より $s=\sup{A}$ であることがわかった．