問題A

1. 全順序集合 $X$ における点列の収束について，次を示せ．

   $\mathrm{(1)}$	点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の極限点は存在するならば唯一つである．
   $\mathrm{(2)}$	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n=y$ とするとき $\mathrm{(i)}$ $x < y$ ならば $n\ge N\ \Rightarrow\ x_n < y_n$ となる $N\in\mathbf{N}$ が存在する $\mathrm{(ii)}$ $n\ge N\ \Rightarrow\ x_n\le y_n$ となる $N\in\mathbf{N}$ が存在するならば $x\le y$ である
   $\mathrm{(3)}$	(はさみうちの原理) 点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ について $n\ge N\ \Rightarrow\ \ y_n \le x_n\le z_n$ となる $N\in\mathbf{N}$ が存在し，かつ $(y_n)$ と $(z_n)$ が同一の点 $x$ に収束するならば，$(x_n)$ も $x$ に収束する．
   $\mathrm{(4)}$	点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が単調非減少であって上限をもつならば，$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ はその上限に収束する．また， 点列 $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が単調非増加であって下限をもつならば，$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ はその下限に収束する．

   解答

   $\mathrm{(1)}$	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=y$ とする．$x,y$ はともに $X$ の最大元でも最小元でもなく，$x\le y$ または $y\le x$ が成り立つ． $x < y$ であったとしよう．このとき，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=y$ より $n\ge N_0\ \Rightarrow\ x < x_n < y$ となる $N_0\in\mathbf{N}$ が存在する． 特に $x < x_{N_0} < y$ であることに注意すると，再び $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$ により $n\ge N_1\ \Rightarrow\ x < x_n < x_{N_0}$ となる $N_1\in\mathbf{N}$ が存在するが，このことは，十分大きな $n$ について $x_{N_0} < x_n < y$ は成り立たないことを意味し $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=y$ に反する． $y < x$ としても同様である．
   $\mathrm{(2)}$	$\mathrm{(i)}$ $x < y$ とすると，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n=y$ より $n\ge N\ \Rightarrow\ x_n < y,\ x < y_n$ となる $N\in\mathbf{N}$ が存在する．もし $x < x' < y$ なる $x'\in X$ が存在する場合は，$N$ をさらに大きくとることにより $n\ge N\ \Rightarrow\ x_n < x' < y_n$ とすることができ，そのような $x'$ が存在しない場合は， $n\ge N\ \Rightarrow\ x_n < y,\ x < y_n$ は $n\ge N\ \Rightarrow\ x_n \le x,\ y \le y_n$ であることを意味し，いずれの場合も $n\ge N\ \Rightarrow\ x_n < y_n$ が成り立つ． $\mathrm{(ii)}$ $y < x$ とすると，$(i)$ により $n\ge N_0\ \Rightarrow\ y_n < x_n$ となる $N_0\in\mathbf{N}$ が存在するから $n\ge N\ \Rightarrow\ x_n \le y_n$ となるような $N\in\mathbf{N}$ は存在しない．
   $\mathrm{(3)}$	$x' < x < x''$ なる $x',x''\in X$ を任意にとる． $\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n=\lim_{n\to\infty}z_n=x$ より $n\ge N\ \Rightarrow\ x' < y_n < x''\ \mathrm{and}\ x' < z_n < x''$ となる $N\in\mathbf{N}$ が存在するが，このとき $z_n \le x_n\le y_n$ より $n\ge N\ \Rightarrow\ x' < y_n\le x_n\le z_n < x''$ が成り立っている．これは $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=x$ を意味する．
   $\mathrm{(4)}$	$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が単調非減少で上限 $\displaystyle x=\sup_{n\in\mathbf{N}}x_n$ をもつとする． このとき，上限の定義により $\forall n\in\mathbf{N},\ x_n\le x$ であって， $x' < x$ なる $x'\in X$ が任意に与えられたとき $x'$ は $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の上界ではないから $x' < x_N$ となる $N\in\mathbf{N}$ が存在する．さらに $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が単調非減少であることに注意すると $n\ge N\ \Rightarrow\ x' < x_n\le x$ が成り立つことになり，これは $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n = x$ が成り立つことを意味する．後半の主張についても同様である．

2. 前実数体 $\mathcal{R}$ において，次が成り立つことを示せ．

   $\mathrm{(1)}$	任意の $x\in \mathcal{R}$ に対して $p < x < q$ となる $p,q\in\mathbf{Q}$ が存在する
   $\mathrm{(2)}$	任意の $x\in \mathcal{R}$ と任意の $\varepsilon\in\mathbf{Q}_+$ に対して $p < x < p+\varepsilon$ となる $p\in\mathbf{Q}$ が存在する

   解答

   $\mathrm{(1)}$

   $\mathcal{R}$ は最大元も最小元ももたないので $x' < x < x''$ なる $x',x''\in \mathcal{R}$ がとれる．よって $\mathbf{Q}$ の稠密性より $x' < p < x < q < x''$ となる $p,q\in\mathbf{Q}$ が存在する．

   $\mathrm{(2)}$

   $x\in \mathbf{Q}$ の場合は $p=x-\dfrac{\varepsilon}{2}$ ととればよい． $x\notin \mathbf{Q}$ とする． $p_0 < x < q_0$ なる $p_0,q_0\in\mathbf{Q}$ を任意にとり $N_x=\{\,n\in\mathbf{N}\,|\,p_0+n\varepsilon > x\,\}$ とおく．$\mathbf{Q}$ はArchimedes的であるから $p_0+n\varepsilon \ge q_0 > x$ なる $n\in\mathbf{N}$ が存在し，従って $N_x\neq\emptyset$ である．そこで，$\mathbf{N}$ の空でない部分集合が最小元をもつことに注意して $m=\min N_x$，$p=p_0+(m-1)\varepsilon$ とおけば $p < x < p+\varepsilon$ が成り立つ．

3. 前実数体 $\mathcal{R}$ における有理数列の収束について，次が成り立つことを示せ．

   $\mathrm{(1)}$	有理Cauchy列は有界である．
   $\mathrm{(2)}$	有理数列 $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(q_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が収束列ならば，$(p_n+q_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(p_nq_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は有理Cauchy列である．
   $\mathrm{(3)}$	前実数体 $\mathcal{R}$ において，有理数列 $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(q_n)_{n\in\mathbf{N}}$ がともに有理Cauchy列であって，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(p_n-q_n)=0$ を満たすならば，これらは同一の点に収束する． 逆に，有理数列 $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(q_n)_{n\in\mathbf{N}}$ 同一の点に収束するならば $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(p_n-q_n)=0$ が成り立つ．
   $\mathrm{(4)}$	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n=x$， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}q_n=y$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\tilde{p}_n=x$， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\tilde{q}_n=y$ ならば $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(p_n+q_n)=\lim_{n\to\infty}(\tilde{p}_n+\tilde{q}_n)$， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_nq_n=\lim_{n\to\infty}\tilde{p}_n\tilde{q}_n$ が成り立つ．

   解答

   $\mathrm{(1)}$	$(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ を有理Cauchy列とすると $m,n\ge N\ \Rightarrow\ |p_m-p_n| < 1$ となる $N\in\mathbf{N}$ が存在するので，$M=\max_{1\le n\le N}|p_n|$ とおけば $|p_n|\le M+1$ がすべての $n\in\mathbf{N}$ について成り立つ．
   $\mathrm{(2)}$	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n=x$， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}q_n=y$ とする． 任意に与えられた $\varepsilon\in\mathbf{Q}_+$ に対して $p < x < p+\varepsilon/2$，$q < y < q+\varepsilon/2$ なる $p,q\in\mathbf{Q}$ をとる． このとき $n\ge N\ \Rightarrow\ p < p_n < p+\varepsilon/2\ \mathrm{and}\ q < q_n < q+\varepsilon/2$ となる $N\in\mathbf{N}$ をとれば $n\ge N\ \Rightarrow\ p+q < p_n+q_n < p+q+\varepsilon$ が成り立つから，このとき $m,n\ge N\ \Rightarrow\ -\varepsilon < p_m+q_m-(p_n+q_n) < \varepsilon$ が成り立つ．また， $p < x < p+1$，$q < y < q+1$ なる $p,q\in\mathbf{Q}$ をとり $n\ge N_1\ \Rightarrow\ p < p_n < p+1,\ q < q_n < q+1$ となる $N_1\in\mathbf{N}$ をとる．さらに，収束する有理数列はCauchy列であるから，任意に与えられた $\varepsilon\in\mathbf{Q}_+$ に対して $m,n\ge N_2\ \Rightarrow\ |p_m-p_n| < \dfrac{\varepsilon}{2(|p|+1)},\ |q_m-q_n| < \dfrac{\varepsilon}{2(|q|+1)}$ となる $N_2\in\mathbf{N}$ がとれる．よって，$N=\max\{N_1,N_2\}$ とおけば $m,n\ge N\ \Rightarrow\ |p_mq_m-p_nq_n|\le|p_m-p_n||q_m|+|p_n||q_m-q_n|\\ \hspace{124pt}\le |p_m-p_n|(|q|+1)+(|p|+1)|q_m-q_n|< \varepsilon$ が成り立つ．
   $\mathrm{(3)}$	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n=x$ とし， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}q_n=x$ を示す． $x' < x < x''$ なる $x',x''\in \mathcal{R}$ を任意にとり，さらに $x' < q' < q < x < p < p' < x''$ なる $p,p',q,q'\in\mathbf{Q}$ をとる． このとき，$\varepsilon=\min\{\,p'-p,\,q-q'\,\}$ とおき $n\ge N\ \Rightarrow\ q < p_n < p$ となる $n\in\mathbf{N}$ をとると $n\ge N\ \Rightarrow\ -\varepsilon < q_n-p_n < \varepsilon$ 従って $n\ge N\ \Rightarrow\ x' < q' < q_n < p' < x''$ が成り立つ． 逆に，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n=\lim_{n\to\infty}q_n=x$ とし， 任意に与えられた $\varepsilon\in\mathbf{Q}_+$ に対して $p < x < p+\varepsilon$ なる $p\in\mathbf{Q}$ をとると， $n\ge N\ \Rightarrow\ p < p_n < p+\varepsilon\ \mathrm{and}\ p < q_n < p+\varepsilon$ となる $N\in\mathbf{N}$ が存在する．このとき $n\ge N\ \Rightarrow\ -\varepsilon < p_n-q_n < \varepsilon$ となっており，これは $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(p_n-q_n)=0$ を意味する．
   $\mathrm{(4)}$	$|(p_n+q_n)-(\tilde{p}_n+\tilde{q}_n)|\le |p_n-\tilde{p}_n|+|q_n-\tilde{q}_n|$ より $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\{(p_n+q_n)-(\tilde{p}_n+\tilde{q}_n)\}=0$ よって $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(p_n+q_n)=\lim_{n\to\infty}(\tilde{p}_n+\tilde{q}_n)$．また，$|p_nq_n-\tilde{p}_n\tilde{q}_n|\le |p_n-\tilde{p}_n||q_n|+|\tilde{p}_n||q_n-\tilde{q}_n|$ および $(q_n)_{n\in\mathbf{N}}$，$(\tilde{p}_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が有界であることより $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(p_nq_n-\tilde{p}_n\tilde{q}_n)=0$ よって $\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_nq_n=\lim_{n\to\infty}\tilde{p}_n\tilde{q}_n$．

問題B

1. 全順序集合としての $\mathbf{Z}$ において，$0$ に収束する数列とはどのようなものであるか．
   解答
   $\mathbf{Z}$ において $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=0$ であるためには

   $n\ge N\ \Rightarrow\ -1 < x_n < 1$

   となる $N\in\mathbf{N}$ が存在しなければならない． すなわち，$(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ はある番号から先はすべて $x_n=0$ となるような数列である．
2. $X$，$Y$ を順序集合とするとき，直積集合 $X\times Y$ における辞書式順序は
   $(x,y) < (x',y')\ \stackrel{\mathrm{def}}{\iff}\ x < x'\ \mathrm{or}\ [x=x'\ \mathrm{and}\ y < y']$
   により定義される．以下の問に答えよ．

   $\mathrm{(1)}$	$\mathbf{N}$ の順序を通常の大小関係とし， $\mathbf{N}\times\mathbf{N}$ に辞書式順序を入れたとき $x_n=(n,1)$，　$y_n=(1,n)$，　$z_n=(n,n)$ $(n=1,2,\ldots)$ により与えられる点列が (i) 有界であるか (ii) 単調であるか (iii) 極限点をもつか をそれぞれ調べよ．
   $\mathrm{(2)}$	$\mathbf{Z}$ の順序を通常の大小関係とし，$\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}$ に次の辞書式順序を入れたとき $x_n=(n,0)$，　$y_n=(0,n)$，　$z_n=(n,-n)$ $(n=1,2,\ldots)$ により与えられる点列が (i) 有界であるか (ii) 単調であるか (iii) 極限点をもつか をそれぞれ調べよ．
   $\mathrm{(3)}$	$\mathbf{Z}$ の順序を通常の大小関係とし，$\mathbf{Q}\times\mathbf{Q}$ に次の辞書式順序を入れたとき，次が成り立つかどうか調べよ： (i) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\Big(\dfrac{1}{n},0\Big)=(0,0)$　 (ii) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\Big(0,\dfrac{1}{n}\Big)=(0,0)$　 (iii) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\Big(\dfrac{1}{n},-\dfrac{1}{n}\Big)=(0,0)$

   解答
   • $(x_n)$ は $(1,1) < (2,1) < (3,1) <\ \cdots$ より単調増加である． また
     $\forall n\in\mathbf{N},\ (1,1)\le (n,1)$
     であるから下に有界，しかし任意の $M,N\in\mathbf{N}$ に対して
     $n > M\ \Rightarrow\ (n,1) > (M,N)$
     であるから上に有界ではない．このことから極限点をもたないこともわかる．
   • $(y_n)$ は $(1,1) < (1,2) < (1,3) <\ \cdots$ より単調増加である． また
     $\forall n\in\mathbf{N},\ (1,1)\le (1,n) < (2,1)$
     であるから有界，さらに $(m,m') < (2,1)$ なる $(m,m')$ を任意にとるとき，$m=1$ に注意して
     $n \ge m'+1\ \Rightarrow\ (m,m') < (1,n) < (2,1)$
     従って
     $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(1,n) = (2,1)$
     となることがわかる．
   • $(z_n)$ は $(x_n)$ と同様に単調増加，下に有界であるが上に有界ではなく，極限点をもたない．
   • $(x_n)$ は $(1,0) < (2,0) < (3,0) <\ \cdots$ より単調増加である． また， 任意の $M,N\in\mathbf{N}$ に対して
     $n > M\ \Rightarrow\ (n,0) > (M,N)$
     $n < M\ \Rightarrow\ (n,0) < (M,N)$
     であるから上にも下にも有界ではなく，極限点ももたない．
   • $(y_n)$ は $(0,1) < (0,2) < (0,3) <\ \cdots$ より単調増加である． また
     $\forall n\in\mathbf{N},\ (-1,0) < (0,n) < (1,0)$
     であるから有界．しかし極限点はもたない．もし
     $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(0,n)=(M,N)$
     であったとすると，$n$ が大きい時 $(M,N-1) < (0,n) < (M,N+1)$ とならなければならないから $M=0$ であるが
     $n \ge N+1\ \Rightarrow\ (0,N) < (0,n)$
     なのでこれは矛盾である．
   • $(z_n)$ は $(1,1) < (2,-2) < (3,-3) <\ \cdots$ より単調増加である． しかし $(x_n)$ と同様に上にも下にも有界でなく，極限点をもたない．

   • $\mathrm{(1)}$	成り立たない．例えば $(0,0) < (0,1)$ であるが $\forall n\in\mathbf{N},\ (0,1) < \Big(\dfrac{1}{n},0\Big)$ だからである．
     $\mathrm{(2)}$	成り立つ．実際，$(0,0) < (p,q)$ なる $(p,q)$ を任意にとるとき $\dfrac{1}{n} < q\ \Rightarrow\ (0,0) < \Big(0,\dfrac{1}{n}\Big) < (p,q)$ となる．
     $\mathrm{(3)}$	成り立たない．$\mathrm{(1)}$ と同様．

3. $a,b\notin\mathbf{Q}$ (つまり，$a,b$ は有理数ではない何者か)，$a\neq b$ とし，集合 $X=\mathbf{Q}\cup\{a,b\}$ において， $p,q\in\mathbf{Q}$ に対しては通常の大小関係による順序を考え，さらに
   $\forall p\in\mathbf{Q}_+,\ b < a < p$
   と定める．また，通常の記法と同様に，$x,x'\in X$ に対して
   $x\le x'\ \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x=x'\ \mathrm{or}\ x < x'$
   と定めると，この関係 $"\le"$ により $X$ は順序集合となる．

   $\mathrm{(1)}$	このとき $X$ は全順序集合であるか．
   $\mathrm{(2)}$	$X$ において $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$ および $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=a$ がともに成り立つことを示せ．

   解答

   $\mathrm{(1)}$	全順序集合ではない．正でない有理数，例えば $0$ と $a,b$ との間の順序が定義されていなからである．
   $\mathrm{(2)}$	$x\in\mathbf{Q}_+$ を任意にとると，Archimedesの原理により $1 < Nx$ となる $N\in\mathbf{N}$ が存在するから，このとき $n\ge N\ \Rightarrow\ 1 < Nx \le nx\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{n} < x$ となるが，$1/n\in\mathbf{Q}_+$ に注意すると $n\ge N\ \Rightarrow\ 0 < \dfrac{1}{n} < x\ \mathrm{and}\ a < \dfrac{1}{n} < x$ が成り立っていることがわかる．これは $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=a$ を意味する．

4. $\mathbf{Q}$ の冪集合 $\mathcal{P}(\mathbf{Q})$ における順序を
   $A\le B\ \stackrel{\mathrm{def}}{\iff}\ A\subset B$
   により定める．この順序集合における点列 $(A_n)_{n\in\mathbf{N}}$ について，以下が成り立つかどうか調べよ．

   $\mathrm{(1)}$	$A_n=\{\,k\in\mathbf{N}\,\Big|\,k\le n\}$ とするとき $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\mathbf{N}$
   $\mathrm{(2)}$	$A_n=\Big\{\,q\in\mathbf{Q}\,\Big|\,-\dfrac{1}{n} < q < \dfrac{1}{n}\,\Big\}$ とするとき $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\{\,0\,\}$
   $\mathrm{(3)}$	$A_n=\Big\{\,q\in\mathbf{Q}\,\Big|\,0 \le q \le 1-\dfrac{1}{n}\,\Big\}$ とするとき $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\{\,q\in\mathbf{Q}\,\Big|\,0 \le q < 1\,\}$

   解答

   $\mathrm{(1)}$	成り立たない．例えば，$2\mathbf{N}=\{\,2m\,|\,m\in\mathbf{N}\,\}$ とおくと $2\mathbf{N} < \mathbf{N}$ であるが，$2\mathbf{N} < A_n$ (すなわち $2\mathbf{N}\subsetneq A_n$) となる $n\in\mathbf{N}$ は存在しない．
   $\mathrm{(2)}$	成り立たない．例えば，$\{0\} < \{0,1\}$ であるが，$A_n < \{0,1\}$ (すなわち $A_n\subsetneq \{0,1\}$) となる $n\in\mathbf{N}$ は存在しない．
   $\mathrm{(3)}$	成り立たない．例えば，$A=\{\,q\in\mathbf{Q}\,\Big|\,0 \le q < 1\,\}$，$A^\circ=A\backslash\{0\}$ とおくと $A^\circ < A$ であるが，$A^\circ < A_n$ (すなわち $A^\circ \subsetneq A_n$) となる $n\in\mathbf{N}$ は存在しない．

   注：結局，この順序集合において $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=A$ が成り立つためには，ある番号から先はすべて $A_n=A$ となっていなければならない．