$x\in \mathcal{R}$ とし，各 $n\in\mathbf{N}$ に対して となる $p_n\in\mathbf{Q}$ をとる(問題)．このとき $\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n=x$ が成り立つ．実際，$x' < x < x''$ なる任意の $x',x''\in \mathcal{R}$ に対して $\mathbf{Q}$ の稠密性より となる $p,p',q,q'\in\mathbf{Q}$ がとれるが， $p_n$ のとり方から であることに注意すると，$N\in\mathbf{N}$ を を満たすようにとれば，$n\ge N$ のとき かつ となることがわかる．

有理数列 $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ が $\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n=x$ を満たすとし，任意に与えられた $\varepsilon\in\mathbf{Q}_+$ に対して $p < x < p+\varepsilon$ となる $p\in\mathbf{Q}$ をとる(問題)．このとき となる $N\in\mathbf{N}$ をとると が成り立つ．

$(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ を任意の有理Cauchy列とする． とおく．有理Cauchy列は有界である(問題)からこれらの上限・下限は確かに存在することに注意． このとき となり， $(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は下に有界な単調非増加数列なのでその下限 $y\in \mathcal{R}$ が， $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ は上に有界な単調非減少数列なのでその上限 $z\in \mathcal{R}$ がそれぞれ存在し が成り立つ(問題)．$y=z$ を示そう．
　まず，各 $y_n$ は $(z_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の上界なので，$z$ が最小の上界であることから 従って $z$ は $(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ の下界ということになり $z\le y$ とわかる．
$z < y$ と仮定する．$\mathbf{Q}$ の稠密性より $z < p < q < y$ なる $p,q\notin Q$ がとれるが，このとき， 任意の $N\in\mathbf{N}$ に対して， $\displaystyle q < y_N=\sup_{k\ge N}p_k$ ゆえ を満たす $m\ge N$ が， $\displaystyle p > z_N=\inf_{k\ge N}p_k$ ゆえ を満たす $n\ge N$ がそれぞれ存在する．このとき， となっており， $N\in\mathbf{N}$ は任意だったから，$\varepsilon=q-p >0$ とおけば ということになり，$(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ がCauchy列であることに反する． そこで，改めて $y=z=x$ とおくと かつ であるから，はさみうちの原理(問題)により $\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n=x$ が成り立つ．

$(5.4)$ は練習問題とする(問題)．$(5.5)$ に関しては， $\mathbf{Q}$ における演算規則がそのまま $\mathcal{R}$ 全体に「遺伝する」ことになる．すなわち， $x,y,z\in \mathcal{R}$ に対して $\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n=x$，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}q_n=y$，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=z$ となる有理数列 $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$．$(q_n)_{n\in\mathbf{N}}$．$(r_n)_{n\in\mathbf{N}}$ をとるとき，以下が成り立つ：

• 和，積に関する交換法則
  $\displaystyle x+y=\lim_{n\to\infty}(p_n+q_n)=\lim_{n\to\infty}(q_n+p_n)=y+x$
  $\displaystyle xy=\lim_{n\to\infty}(p_nq_n)=\lim_{n\to\infty}(q_n+p_n)=yx$
• 和，積に関する結合法則
  $\displaystyle (x+y)+z=\lim_{n\to\infty}\{(p_n+q_n)+r_n\}=\lim_{n\to\infty}\{p_n+(q_n+r_n)\}=x+(y+z)$
  $\displaystyle (xy)z=\lim_{n\to\infty}\{(p_nq_n)r_n\}=\lim_{n\to\infty}\{p_n(q_nr_n)\}=x(yz)$
• 分配法則
  $\displaystyle (x+y)z=\lim_{n\to\infty}\{(p_n+q_n)r_n\}=\lim_{n\to\infty}(p_nr_n+q_nr_n)=xz+yz$
• 加法逆元の存在
  $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ はCauchy列であるから $(-p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ もCauchy列であって，その極限を $x'\in \mathcal{R}$ とすると
  $\displaystyle x+x'=\lim_{n\to\infty}\{p_n+(-p_n)\}=\lim_{n\to\infty}0=0$
• 乗法逆元の存在
  $x > 0 $ とし，$x > s > 0$ なる $s\in\mathbf{Q}$ をとると， $n \ge N\ \Rightarrow\ p_n > s/2$ となる $N\in\mathbf{N}$ が存在し，このとき
  $\displaystyle m,n \ge N\ \Rightarrow\ \Big|\dfrac{1}{p_m}-\dfrac{1}{p_n}\Big|=\dfrac{|p_m-p_n|}{|p_mp_n|} < \dfrac{4}{s^2}|p_m-p_n|$
  から $(1/p_n)_{n\ge N}$ もCauchy列とわかる．よってその極限を $x''\in \mathcal{R}$ とすると
  $\displaystyle xx''=\lim_{n\to\infty}p_n(1/p_n)=\lim_{n\to\infty}1=1$
  $x < 0$ の場合も同様．
• 順序との両立
  $x < y$ とし， $x < s < s' < y$ なる $s,s'\in\mathbf{Q}$ をとる，さらに $\varepsilon=\frac{s'-s}{2}$ とおいて $ t < z < t+\varepsilon$ なる $t\in\mathbf{Q}$ をとる(問題)．このとき，十分大きな $n$ に対して $p_n < s < s' < q_n$，かつ $t < r_n < t+\varepsilon$ となり．$\varepsilon < s'-s$ に注意すると
  $p_n+r_n < s+r_n < s+ t+\varepsilon < s'+t < q_n+r_n $
  から $n\to\infty$ として
  $\displaystyle x+z　\le s+t+\varepsilon < s'+t \le y+z$
  とわかる(問題)． また，$x > 0$，$y > 0$ とし，$x > s > 0$ かつ $y > t > 0$ なる $s,t\in\mathbf{Q}$ をとると，十分大きな $n$ に対して $p_n > s $ かつ $q_n > t$ となるから
  $\displaystyle xy=\lim_{n\to\infty}p_nq_n\ge st > 0$
  が成り立つ．
• 次のことも確かめておこう：
  $x=y\ \Rightarrow\ x+z=y+z,\ xz=yz$
  実際，$x=y$ ならば (5.4) により $p_n=q_n\ (n\in\mathbf{N})$ としてよいから
  $\displaystyle x+z=\lim_{n\to\infty}(p_n+r_n)=\lim_{n\to\infty}(q_n+r_n)=y+z$
  $\displaystyle xz=\lim_{n\to\infty}p_nr_n=\lim_{n\to\infty}q_nr_n=yz$
  が成り立つ． こんなことは当たり前だと思うかもしれないが，そう思うのは「和，積とはそういうものだ」という知識があるからであろう．今我々は近似有理数列を用いて定義した演算が「和」「積」と呼ぶに値するものかどうかを調べている段階なので，これら「当たり前」のことが実際に成り立っていることを確かめる作業はどうしても必要なのである．