「こんな当たり前のことを」と思われるかもしれないが， 記号の扱いに馴れる目的も兼ねて，それぞれの場合について「左辺の行列と右辺の行列の各成分が一致する」ことを確認しておこう（さらに詳しい計算は補足pdfを見よ）： 証明
$A=\left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)$， $B=\left(\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right)$， $C=\left(\begin{array}{cc}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{array}\right)$ とする．

$\mathrm{(a)}$	$(A+B)+C$ の $(i,j)$ 成分は $(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}$ $A+(B+C)$ の $(i,j)$ 成分は $a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})$ であり，これらは等しい．
$\mathrm{(b)}$	$A+B$ の $(i,j)$ 成分は $a_{ij}+b_{ij}$ $B+A$ の $(i,j)$ 成分は $b_{ij}+a_{ij}$ であり，これらは等しい．
$\mathrm{(c)}$	たかが二つの項の和を表すのにシグマ記号を持ち出すのは大げさではあるが，一般の行列(例えば $n\times n$ 行列)についての議論に対応できるよう，ここでできるだけ表記に馴れておきたい．   まず，$AB$ の $(i,j)$ 成分は $\displaystyle \sum_{k=1}^2a_{ik}b_{kj}$ であるから， $(AB)C$ の $(i,l)$ 成分は $\displaystyle \sum_{j=1}^2\bigg(\sum_{k=1}^2a_{ik}b_{kj}\bigg)c_{jl}$ となる． また，$BC$ の $(k,l)$ 成分は $\displaystyle \sum_{j=1}^2b_{kj}c_{jl}$ であるから， $A(BC)$ の $(i,l)$ 成分は $\displaystyle \sum_{k=1}^2a_{ik}\bigg(\sum_{j=1}^2b_{kj}c_{jl}\bigg)$ となる． ところが， $\displaystyle \sum_{j=1}^2\bigg(\sum_{k=1}^2a_{ik}b_{kj}\bigg)c_{jl}$ $\displaystyle =\sum_{j=1}^2\sum_{k=1}^2a_{ik}b_{kj}c_{jl} \displaystyle =\sum_{k=1}^2a_{ik}\bigg(\sum_{j=1}^2b_{kj}c_{jl}\bigg)$ が成り立つから，$(AB)C$ の $(i,l)$ 成分と $A(BC)$ の $(i,l)$ 成分は等しい．
$\mathrm{(d)}$	$A(B+C)$ の $(i,j)$ 成分は $\displaystyle \sum_{k=1}^2a_{ik}(b_{kj}+c_{kj}) $$\displaystyle =\sum_{k=1}^2(a_{ik}b_{kj}+a_{ik}c_{kj}) =\sum_{k=1}^2a_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^2a_{ik}c_{kj}$ であり，これは $AB+AC$ の $(i,j)$ 成分に等しい．
$\mathrm{(e)}$	$(A+B)C$ の $(i,j)$ 成分は $\displaystyle \sum_{k=1}^2(a_{ik}+b_{ik})c_{kj} $$\displaystyle =\sum_{k=1}^2(a_{ik}c_{kj}+b_{ik}c_{kj}) =\sum_{k=1}^2a_{ik}c_{kj}+\sum_{k=1}^2b_{ik}c_{kj}$ であり，これは $AC+BC$ の $(i,j)$ 成分に等しい．
$\mathrm{(f)}$	$(st)A$ の $(i,j)$ 成分は $(st)a_{ij}$ $s(t A)$ の $(i,j)$ 成分は $s(t a_{ij})$ であり，これらは等しい．
$\mathrm{(g)}$	$(s+t)A$ の $(i,j)$ 成分は $(s+t)a_{ij}$ $s A+t A$ の $(i,j)$ 成分は $s a_{ij} + t a_{ij}$ であり，これらは等しい．
$\mathrm{(h)}$	$t(A+B)$ の $(i,j)$ 成分は $t(a_{ij}+b_{ij})$ $t A+t B$ の $(i,j)$ 成分は $t a_{ij} + t b_{ij}$ であり，これらは等しい．
$\mathrm{(i)}$	$t(AB)$ の $(i,j)$ 成分は $\displaystyle t\sum_{k=1}^2a_{ik}b_{kj}$ $(t A)B$ の $(i,j)$ 成分は $\displaystyle \sum_{k=1}^2(ta_{ik})b_{kj}$ $A(t B)$ の $(i,j)$ 成分は $\displaystyle \sum_{k=1}^2a_{ik}(t b_{kj})$ であり，これらはすべて等しい．