線型代数

第1講　実2次正方行列の演算

行列の記法 $4$ 個の実数 $a_{11}$，$a_{12}$，$a_{21}$，$a_{22}$ を
$\left(\!\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\!\right)$
のように $2$ 行 $2$ 列に配置したものを実 $2$ 行 $2$ 列行列，実 $2\times2$ 行列，実 $2$ 次正方行列などという．
横の並びを上から第 $1$ 行，第 $2$ 行と呼び，縦の並びを左から第 $1$ 列，第 $2$ 列と呼ぶ．
第 $i$ 行，第 $j$ 列に位置する数 $a_{ij}$ をこの行列の $(i,j)$ 成分という．特に，行番号と列番号が一致する成分 $a_{11}$ と $a_{22}$ は 対角成分と呼ばれる．
和，スカラー倍，積 実 $2\times 2$ 行列の和とスカラー倍(実数倍)はそれぞれ次で定義される：
$\left(\!\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\!\right) +\left(\!\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\!\right) $$=\left(\!\begin{array}{cc}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{array}\!\right)$
$k\left(\!\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\!\right) $$=\left(\!\begin{array}{cc}ka_{11}&ka_{12}\\ka_{21}&ka_{22}\end{array}\!\right)$　($k\in\mathbf{R}$)
また，積は次で定義される：
$\left(\!\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\!\right)\left(\!\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\!\right) $$=\left(\!\begin{array}{cc}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{array}\!\right)$
文字式の計算と同様に結合法則，分配法則等を用いてよい命題1.1 が，
積に関する交換法則は成り立たない
ことに注意せよ詳しく!．
練習1
単位行列と零行列 次の行列はそれぞれ $2$ 次の単位行列，零行列と呼ばれる．
$E=\left(\!\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\!\right)$， $O=\left(\!\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\!\right)$
容易にわかるように，任意の実 $2\times 2$ 行列 $A$ に対して
$AE=EA=A$
$A+O=A$
$AO=OA=O$
が成り立つ 詳しく!．
練習2