| $\mathrm{(a)}$ |
$(A+B)+C$ の $(i,j)$ 成分は
$(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}$
$A+(B+C)$ の $(i,j)$ 成分は
$a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})$
であり，これらは等しい．
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| $\mathrm{(b)}$ |
$A+B$ の $(i,j)$ 成分は
$a_{ij}+b_{ij}$
$B+A$ の $(i,j)$ 成分は
$b_{ij}+a_{ij}$
であり，これらは等しい．
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| $\mathrm{(c)}$ |
$A$ の列数と $B$ の行数を $m$，$B$ の列数と $C$ の行数を$m'$ とすると，
$(AB)C$ の $(i,l)$ 成分は
$\displaystyle \sum_{j=1}^{m'}\Big( \sum_{k=1}^ma_{ik}b_{kj}\Big)c_{jl} $
$A(BC)$ の $(i,l)$ 成分は
$\displaystyle \sum_{k=1}^{m}a_{ik}\Big( \sum_{j=1}^{m'}b_{kj}c_{jl} \Big)$
となり，これらはともに
$\displaystyle \sum_{k=1}^m\sum_{j=1}^{m'}a_{ik}b_{kj}c_{jl} $
と表すことができる．
実数の演算について分配法則等が成り立つからである．
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| $\mathrm{(d)}$ |
$A$ の列数と $B$，$C$ の行数を $m$ とすると，
$A(B+C)$ の $(i,j)$ 成分は
$\displaystyle \sum_{k=1}^ma_{ik}(b_{kj}+c_{kj})
$$\displaystyle =\sum_{k=1}^m(a_{ik}b_{kj}+a_{ik}c_{kj})
=\sum_{k=1}^ma_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^ma_{ik}c_{kj}$
であり，これは $AB+AC$ の $(i,j)$ 成分に等しい．
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| $\mathrm{(e)}$ |
$A$，$B$ の列数と $C$ の行数を $m$ とすると，
$(A+B)C$ の $(i,j)$ 成分は
$\displaystyle \sum_{k=1}^m(a_{ik}+b_{ik})c_{kj}
$$\displaystyle =\sum_{k=1}^m(a_{ik}c_{kj}+b_{ik}c_{kj})
=\sum_{k=1}^ma_{ik}c_{kj}+\sum_{k=1}^mb_{ik}c_{kj}$
であり，これは $AC+BC$ の $(i,j)$ 成分に等しい．
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| $\mathrm{(f)}$ |
$(st)A$ の $(i,j)$ 成分は
$(st)a_{ij}$
$s(t A)$ の $(i,j)$ 成分は
$s(t a_{ij})$
であり，これらは等しい．
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| $\mathrm{(g)}$ |
$(s+t)A$ の $(i,j)$ 成分は
$(s+t)a_{ij}$
$s A+t A$ の $(i,j)$ 成分は
$s a_{ij} + t a_{ij}$
であり，これらは等しい．
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| $\mathrm{(h)}$ |
$t(A+B)$ の $(i,j)$ 成分は
$t(a_{ij}+b_{ij})$
$t A+t B$ の $(i,j)$ 成分は
$t a_{ij} + t b_{ij}$
であり，これらは等しい．
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| $\mathrm{(i)}$ |
$A$ の列数と $B$ の行数を $m$ とすると，
$t(AB)$ の $(i,j)$ 成分は
$\displaystyle t\sum_{k=1}^ma_{ik}b_{kj}$
$(t A)B$ の $(i,j)$ 成分は
$\displaystyle \sum_{k=1}^m(ta_{ik})b_{kj}$
$A(t B)$ の $(i,j)$ 成分は
$\displaystyle \sum_{k=1}^ma_{ik}(t b_{kj})$
であり，これらはすべて等しい．
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