線型写像の像空間と階数
実 $m\times n$ 行列 $A$ は，$\mathbf{R}^n$ のベクトル $\mathbf{x}$ を $\mathbf{R}^m$ のベクトル $A\mathbf{x}$ に変換する
線型写像(一次写像)を定める．この写像を $f_A$ と表す：
$f_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\quad(\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n)$
念のために「線型」という意味を改めて確認しておこう．写像 $f_A$ が線型写像であるとは
$f_A(\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2)=f_A(\mathbf{x}_1)+f_A(\mathbf{x}_2)\qquad(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in\mathbf{R}^n)$
$f_A(k\mathbf{x})=kf_A(\mathbf{x})\qquad(\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n,\ k\in\mathbf{R})$
が成り立つことをいう．これらの条件は
$f_A(k_1\mathbf{x}_1+k_2\mathbf{x}_2)=k_1f_A(\mathbf{x}_1)+k_2f_A(\mathbf{x}_2)$$\hspace{100pt}(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in\mathbf{R}^n,\ k_1,k_2\in\mathbf{R})$
と一つにまとめることもできる．
和とスカラー倍という演算を，ベクトルを移す前に行っても移した後に行っても結果は同じ
であるような写像が線型写像ということであった．
計算せよ．定義されないものは「$\times$」と記せ．
$\mathrm{(1)}$ $\left(\begin{array}{ccc}2&1&0\\3&0&-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1\\2\\3\end{array}\right)$
$\mathrm{(2)}$ $\left(\begin{array}{cc}3&-1\\1&1\\0&2\\4&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2\\-1\end{array}\right)$
$\mathrm{(3)}$ $\left(\begin{array}{cc}4&0\\-2&5\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2\\1\\4\end{array}\right)$
$\mathrm{(4)}$ $\left(\begin{array}{cccc}1&2&1&5\\0&1&0&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\-1\\-2\\1\end{array}\right)$
$\mathrm{(1)}$
$\left(\begin{array}{c}4\\-3\end{array}\right)$
$\mathrm{(2)}$
$\left(\begin{array}{c}7\\1\\-2\\5\end{array}\right)$
$\mathrm{(3)}$ $\times$
$\mathrm{(4)}$
$\left(\begin{array}{c}6\\3\end{array}\right)$
行列 $A$ が定める線型写像 $f_A$ の像空間とは，$f_A$ によって移されたすべてのベクトルの集合であり，$\mathrm{Im}f_A$ と表す．$A$ が実 $m\times n$ 行列ならば，$\mathrm{Im}f_A$ は $\mathrm{R}^m$ の部分空間である：
$\mathrm{Im}f_A
\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,f_A(\mathbf{x})\ |\ \mathbf{x}\in\mathbf{R}^n\,\}
=\{\,A\mathbf{x}\ |\ \mathbf{x}\in\mathbf{R}^n\,\}$
$A=(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n\,)$ とすると
$\mathrm{Im}f_A
=\langle\,\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_n\rangle$
である
詳しく!．
$2\times2$ の場合と同様である(
第3講参照)．$3\times3$ 行列
$A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\1&1&3\\0&1&1\end{array}\right)$
で具体的に見ておくと
$\mathrm{Im}f_A
=\{\,A\mathbf{x}\ |\ \mathbf{x}\in\mathbf{R}^3\,\}\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\1&1&3\\0&1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\ \right|\ \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\in\mathbf{R}^3\,\right\}\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x+2z\\x+y+3z\\y+z\end{array}\right)\ \right|\ x,y\in\mathbf{R}\,\right\}\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\{\left.\,
x\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)
+y\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)
+z\left(\begin{array}{c}2\\3\\1\end{array}\right)\ \right|\ x,y,z\in\mathbf{R}\,\right\}\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\3\\1\end{array}\right)\right\rangle$
となる．
この像空間 $f_A$ の次元のことを行列 $A$ の
階数といい，$\mathrm{rank}A$ で表す
(「線型写像 $f_A$ の階数」ともいい，$\mathrm{rank}f_A$ と表すこともある)．
-
$A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\1&1&3\\0&1&1\end{array}\right)$ とすると
$\mathrm{Im}f_A
=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\3\\1\end{array}\right)\right\rangle\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)\right\rangle\quad[\mathrm{c_1\stackrel{\times(-2)}{\to}c_3}]\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)\right\rangle
$
となり，$\mathrm{Im}f_A$ は $2$ 次元部分空間である．
よって $\mathrm{rank}A=2$．さらに
$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
=s\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)+
t\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)$
から $s,t$ を消去して(あるいは外積を利用して) $x-y+z=0$ が得られるから
$\mathrm{Im}f_A
=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\ \right|\ x-y+z=0\,\right\}\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\ \right|\ \left(\begin{array}{ccc}1&-1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=0\,\right\}$
と表わされることもわかる．
-
$B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\1&1&3\\0&1&3\end{array}\right)$ とすると
$\mathrm{Im}f_B
=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\3\\3\end{array}\right)\right\rangle\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\3\end{array}\right)\right\rangle\quad[\mathrm{c_1\stackrel{\times(-2)}{\to}c_3}]\\[1mm]
\hspace{22pt}=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right)\right\rangle\quad[\mathrm{c_2\stackrel{\times(-1)}{\to}c_3}]
$
となり，$\left\{\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right)\right\}$ は一次独立であるから
$\mathrm{Im}f_B$ は $3$ 次元部分空間，すなわち $\mathrm{Im}f_B=\mathbf{R}^3$ である．
よって $\mathrm{rank}B=3$．
行列の基本変形と階段行列
行列に対する次の操作は
列基本変形と呼ばれる：
-
ある列とある列を入れ替える
-
ある列をスカラー倍する(ただし $0$ 倍は不可)
-
ある列を他の列に加える
ここまでに見てきたように，行列 $A$ にこれらの操作を行っても像空間 $\mathrm{Im}f_A$ は不変である
詳しく!
から，行列の階数 $\mathrm{rank}A=\mathrm{dimIm}f_A$ も不変である．
例えば
$A_1=\left(\begin{array}{cc}1&1\\2&0\\1&2\end{array}\right)$，
$A_2=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&2\\2&1\end{array}\right)$
$A_3=\left(\begin{array}{cc}1&3\\2&0\\1&6\end{array}\right)$，
$A_4=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&2\\1&3\end{array}\right)$
はすべて異なる行列であるが，それぞれが定める線形写像の像空間はすべて等しく
$\mathrm{Im}f_{A_i}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\ \right|\ 4x-y-2z=0\,\right\}$ $i=1,2,3,4$
である．$A_2$，$A_3$，$A_4$ はいずれも $A_1$ に列基本変形を施したもの，例えば $A_4$ は $A_1$ の第 $1$ 列を第 $2$ 列に加えたものであることを確認しよう．
特に，
ある列の何倍かを他の列に加えても階数は変わらない
ことに注意しよう．
$A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&2\\3&1&5\\1&0&3\end{array}\right)$ は，列基本変形により例えば
$
\left(\begin{array}{ccc}2&1&2\\3&1&5\\1&0&3\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{ccc}1&2&2\\1&3&5\\0&1&3\end{array}\right)\quad\begin{array}{l}[\mathrm{c_1\leftrightarrow c_2}]\end{array}\\[1mm]
\hspace{55pt}\to
\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&3\\0&1&3\end{array}\right)
\quad\begin{array}{l}[\mathrm{c_1\stackrel{\times(-2)}{\to}c_2}]\\ [\mathrm{c_1\stackrel{\times(-2)}{\to}c_3}]\end{array}\\[1mm]
\hspace{55pt}\to
\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\0&1&0\end{array}\right)
\quad\begin{array}{l}[\mathrm{c_2\stackrel{\times(-3)}{\to}c_3}]\end{array}
$
という形にできる．列基本変形を行うと行列としてはもはや同じものではないので「$=$
」で結ばないように注意しよう．
しかし，列の入れ替えと「ある列の何倍かを他の列に加える」という操作を行っただけなので，部分空間としては
$\mathrm{Im}f_A
=\left\langle\left(\begin{array}{c}2\\3\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\5\\3\end{array}\right)\right\rangle
=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)\right\rangle$
が成り立っている．
従って，$\mathrm{Im}f_A$ の基底としては $\left\{\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)\right\}$
がとれ，$\mathrm{Im}f_A$ は $2$ 次元部分空間，すなわち $\mathrm{rank}A=2$ とわかる．
一般に，行列の階数はそのままの形では判断が難しいので，列基本変形により列ベクトルの一次独立性がはっきりとわかる形に変形するとよい．その形とは，例えば
$\left(\begin{array}{ccc}3&0&0\\2&2&0\\1&7&1\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\0&1&0\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cccc}2&0&0&0\\5&4&0&0\\0&2&0&0\\3&9&1&0\end{array}\right)$
のように上端から続く $0$ の数が列番号とともに増加する
階段行列と呼ばれる形である．このような行列であれば，その階数は順に $3$，$2$，$3$ と容易にわかる
詳しく!．
例えば三つ目の行列を
$A=\left(\begin{array}{cccc}2&0&0&0\\5&4&0&0\\0&2&0&0\\3&9&1&0\end{array}\right)$ とおこう．このとき
$\mathrm{Im}f_A
=\left\langle\left(\begin{array}{c}2\\5\\0\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\4\\2\\9\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\right\rangle$
であって，$\mathrm{Im}f_A$ の基底は $\left\{\left(\begin{array}{c}2\\5\\0\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\4\\2\\9\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\right\}$ がとれるから $\mathrm{rank}A=\mathrm{dimIm}f_A=3$ とわかる．
ここで重要なのは $\left\{\left(\begin{array}{c}2\\5\\0\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\4\\2\\9\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\right\}$ が一次独立な組であることが直ちに判断できるということである．既に見てきたことではあるが，ここで改めてそのことを定義に戻って確認しておこう．
$s\left(\begin{array}{c}2\\5\\0\\3\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}0\\4\\2\\9\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}\right)$
とする．一次独立であるとは，このようなことは $s=t=u=0$ のとき以外にはあり得ないということであった．実際，今の場合は
$
\left\{\begin{array}{l}2s=0\\5s+4t=0\\2t=0\\3s+9t+u=0\end{array}\right.
$
を満たす $s,t,u$ は，第一式から順に見ていくとすべて $0$ であることが直ちにわかる．
階段行列はその階数がはっきりわかるというのは，このように
列ベクトルの一次独立性が直ちに判断できるということに他ならない．
行列の階数は行と列の入れ替えによっても不変である．すなわち，任意の行列 $A$ について
$\mathrm{rank}\,{}^t\!A=\mathrm{rank}A$
が成り立つ
証明pdf．
従って，行列の階数を調べるには，行ベクトルに着目して次の行基本変形を行ってもよい；
-
ある行とある行を入れ替える
-
ある行をスカラー倍する(ただし $0$ 倍は不可)
-
ある行を他の行に加える
例えば，$A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&2\\3&1&5\\1&0&3\end{array}\right)$ を行基本変形により
$
\left(\begin{array}{ccc}2&1&2\\3&1&5\\1&0&3\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{ccc}1&0&3\\3&1&5\\2&1&2\end{array}\right)\quad\begin{array}{l}[\mathrm{r_1\leftrightarrow r_3}]\end{array}\\[1mm]
\hspace{55pt}\to
\left(\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&-4\\0&1&-4\end{array}\right)
\quad\begin{array}{l}[\mathrm{r_1\stackrel{\times(-3)}{\to}r_2}]\\ [\mathrm{r_1\stackrel{\times(-2)}{\to}r_3}]\end{array}\\[1mm]
\hspace{55pt}\to
\left(\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&-4\\0&0&0\end{array}\right)
\quad\begin{array}{l}[\mathrm{r_2\stackrel{\times(-1)}{\to}r_3}]\end{array}
$
として，行ベクトルの一次独立性を見て $\mathrm{rank}A=2$ と判断することもできる．
しかし，
行基本変形では像空間 $\mathrm{Im}f_A$ は不変ではないので，$\mathrm{Im}f_A$ の基底を行基本変形で得ることはできない．そういう理由で，行列の階数を調べるときはできるだけ列基本変形によって行うことを勧める．
「行列の階数を調べるには基本変形を行って階段行列の形にせよ」というのは教科書的な基本方針であるが，階段行列そのものが重要なのではなく，飽くまでも
列ベクトルの一次独立性を調べるのが目的であることは特に強調しておく．
というのは，必ずしも階段行列でなくとも，一次独立性を目視で判断できる場合も多く，(少なくとも手計算においては)階段行列の形に拘らずに柔軟に判断するとよい．
例えば，以下の行列はどれも階段行列ではないが，その階数は変形を行わずとも判断できるであろう：
$\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\3&2&0\\1&0&0\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc}1&3&0\\1&2&3\\0&0&2\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc}1&4&2\\1&1&2\\1&3&2\end{array}\right)$
階数は順に $3$，$3$，$2$ である．もちろん，頑なに変形を避けることもなく，そのままでわかりにくい場合は迷わず変形すればよい．