部分空間の生成
第3講ですでに述べているが，改めて言葉と記号の意味を思い出しておこう．一般に，ベクトル $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n$ が与えられたとき，スカラー(実数) $t_1,t_2,\ldots,t_n$ により
$t_1\mathbf{a}_1+t_2\mathbf{a}_2+\ldots+t_n\mathbf{a}_n$
と表されるベクトルを $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n$ の
線型結合(一次結合)というが，それらをすべて集めた集合を
$\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n$ が
生成する(張る)部分空間といい，$\langle\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle$ と表す：
$\langle\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle$
$\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,t_1\mathbf{a}_1+t_2\mathbf{a}_2+\ldots+t_n\mathbf{a}_n\ |\ t_1,t_2\ldots,t_n\in\mathbf{R}\,\}$
この形で与えられた部分空間を行列 $A$ を用いて $\{\,\mathbf{x}\ |\ A\mathbf{x}=\mathbf{0}\,\}$ の形で表すためには
$\mathbf{x}=t_1\mathbf{a}_1+t_2\mathbf{a}_2+\ldots+t_n\mathbf{a}_n$
を解にもつ連立一次方程式をつくればよい．すなわち，この式から $t_1,t_2,\ldots,t_n$ を消去して得られる関係式が $\mathbf{x}$ の満たすべき条件ということになる．
特に，$\mathbf{R}^n$ の $n$ 本のベクトルからなる組 $\{\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\}$ が一次独立ならば，これは $\mathbf{R}^n$ の基底であるから
$\langle\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle=\mathbf{R}^n$
となる
詳しく!．
「基底」の定義を思い出そう．
例えば，$\mathbf{R}^2$ のベクトルの組 $\{\,\mathbf{a},\ \mathbf{b}\,\}$ が $\mathbf{R}^2$ の基底であるとする．その意味は
-
$\{\,\mathbf{a},\ \mathbf{b}\,\}$ は一次独立
-
$\mathbf{R}^2$ のすべてのベクトルは $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ の線型結合(すなわち $s\mathbf{a}+t\mathbf{b}$ の形)で表せる
ということであった．従って，$\mathbf{R}^2$ のすべてのベクトルは
$\langle\mathbf{a},\ \mathbf{b}\rangle=\{\,s\mathbf{a}+t\mathbf{b}\ |\ s,t\in\mathbf{R}\,\}$
含まれることになり，それはすなわち $\langle\mathbf{a},\ \mathbf{b}\rangle=\mathbf{R}^2$ を意味する．
-
$W_1=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)
\right\rangle$ は $t\in\mathbf{R}$ によって
$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t\\2t\\3t\end{array}\right)$
と表わされるベクトルの集合なので
$\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=2t\\z=3t\end{array}\right.$
から $t$ を消去して
$x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}$ すなわち $\left\{\begin{array}{l}2x-y=0\\3y-2z=0\end{array}\right.$
よって
$W_1=
\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\ \right|\ \left(\begin{array}{ccc}2&-1&0\\0&3&-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\,\right\}$
と表わせる．あるいは，$x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}$ を
$\left\{\begin{array}{l}2x-y=0\\3x-z=0\end{array}\right.$
とみて
$W_1=
\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\ \right|\ \left(\begin{array}{ccc}2&-1&0\\3&0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\,\right\}$
などと表わすこともできる．
-
$W_2=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\3\\2\end{array}\right)
\right\rangle$ は $s,t\in\mathbf{R}$ によって
$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=
s\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}0\\3\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}s\\2s+3t\\s+2t\end{array}\right)$
と表わされるベクトルの集合なので
$\left\{\begin{array}{l}x=s\\y=2s+3t\\z=s+2t\end{array}\right.$
から $s,t$ を消去して
$x-2y+3z=0$
を得る．よって
$W_2=
\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\ \right|\ \left(\begin{array}{ccc}1&-2&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=0\,\right\}$
と表わせる．
-
$W_3=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)
\right\rangle$ は $s,t,u\in\mathbf{R}$ によって
$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=
s\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$
と表わされるベクトルの集合であるが
$\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{array}\right|=1\neq0$
なので，
$\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)
\,\right\}$ は一次独立，従って $\mathbf{R}^3$ の基底である．すなわち，
$\mathbf{R}^3$ のベクトルはすべて $W_3$ に含まれることになるから
$W_3=\mathbf{R}^3$
である．
$\langle\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle$ の形で与えらた部分空間の基底を求めるには，この $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n$ からできるだけ多くのベクトルを選び一次独立な組をつくればよい．一次独立性の判定は一目では難しい場合が多いので，次の事実を利用して適切な変形を行えばよい：
$\{\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\}$ のうちあるベクトルのスカラー倍を他のベクトルに加えても部分空間は不変である．すなわち，例えば $\mathbf{a}_j$ の $k$ 倍を $\mathbf{a}_i$ に加えて得られる部分空間
$\langle\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_i+k\mathbf{a}_j,\ldots,\mathbf{a}_j,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle$
は元の $\langle\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle$ と等しい
詳しく！pdf．
行列式の計算のときと同様に，「$i$ 本目のベクトルを $k$ 倍して $j$ 本目のベクトルに加える」という操作を $[\,c_i\stackrel{\times k}{\to}c_j\,]$ と表わすことにする．
変形の基本方針も行列式の場合と同様である．
すなわち，第 $1$ 成分から順番に「一つを残して他を $0$ にする」ことを行い，零ベクトルをできるだけ多く作るのである．零ベクトルが現れたら取り除いてよい．すなわち
$\langle\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_m,\mathbf{0}\rangle
=\langle\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_m\rangle$
としてよいことは定義から明らかであろう．
-
$W_1=\left\langle
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}-1\\2\\5\end{array}\right)
\right\rangle$ の基底を調べよう．
$\left\langle
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}-1\\2\\5\end{array}\right)
\right\rangle\\[1mm]
\hspace{20pt}=\left\langle
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\3\\6\end{array}\right)
\right\rangle\quad
\begin{array}{l} [\,c_1\stackrel{\times (-2)}{\to}c_2\,]\\ [\,c_1\stackrel{\times 1}{\to}c_3\,]\end{array}\\[1mm]
\hspace{20pt}=\left\langle
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)
\right\rangle\quad[\,c_2\stackrel{\times (-3)}{\to}c_3\,]\\[1mm]
\hspace{20pt}=\left\langle
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)
\right\rangle
$
よって，$W_1$ の基底は $\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)\,\right\}$ がとれる．
従って，$\mathrm{dim}W_1=2$，すなわち $W_1$ は $2$ 次元部分空間である．
さらに
$
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
=s\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)
+t\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}s\\s+t\\s+2t\end{array}\right)$
から $s,t$ を消去することにより
$x-2y+z=0$
が得られるから
$W_1=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
\ \right|\ \left(\begin{array}{ccc}1&-2&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=0
\,\right\}$
と表わすことができる．
-
$W_2=\left\langle
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}3\\4\\2\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}4\\1\\5\end{array}\right)
\right\rangle$ の基底を調べよう．
$\left\langle
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}3\\4\\2\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}4\\1\\5\end{array}\right)
\right\rangle\\[1mm]
\hspace{20pt}=\left\langle
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\-3\\1\end{array}\right)
\right\rangle\quad
\begin{array}{l} [\,c_1\stackrel{\times (-3)}{\to}c_2\,]\\ [\,c_1\stackrel{\times (-4)}{\to}c_3\,]\end{array}\\[1mm]
\hspace{20pt}=\left\langle
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\0\\-2\end{array}\right)
\right\rangle\quad[\,c_2\stackrel{\times 3}{\to}c_3\,]
$
よって，$W_2$ の基底は $\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\0\\-2\end{array}\right)
\,\right\}$ がとれる．
従って，$\mathrm{dim}W_2=3$，すなわち $W_2=\mathbf{R}^3$ ( $3$ 次元部分空間)である．
前講でも述べたように，一般に基底のとり方は一意でないので，上記以外の基底も考えられる．例えば $W_1$ の基底としては
$\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)
\,\right\}$，
$\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right)
\,\right\}$
などもとれる(確かめよ)し，$W_2=\mathbf{R}^3$ であるから，その基底としては
標準基底
$\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)
\,\right\}$
をとってももちろんよい
．
次のうち，上で調べた部分空間
$W_1=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\2\\5\end{array}\right)\right\rangle$
の基底であるものはどれか？
$\mathrm{(a)}$
$\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right)
\,\right\}$
$\mathrm{(b)}$
$\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}\right)
\,\right\}$
$\mathrm{(c)}$
$\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-5\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right)
\,\right\}$
$\mathrm{(d)}$
$\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)
\,\right\}$
$\mathrm{(e)}$
$\left\{\,\left(\begin{array}{c}4\\3\\2\end{array}\right)
\,\right\}$
$\mathrm{(b)}$ と $\mathrm{(c)}$．
$\mathrm{dim}W_1=2$ であって
$W_1=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
\ \right|\ x-2y+z=0\,\right\}$
と表わせるから，$x-2y+z=0$ に当てはまる $2$ 本の一次独立なベクトルからなる組を選べばよい．
$3$ 次元ベクトルの外積
やや寄り道にはなるが，$3$ 次元ベクトルの
外積(ベクトル積)はいろいろな場面で有用なので，ここである程度計算に慣れておこう．
$3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)$，
$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)$ の外積 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ は
$\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{array}\right)$
により定義され，これは $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方に垂直なベクトルを与える．
$2$ 本のベクトル $\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)$ と $\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)$ が「垂直」であるとは，もちろん内積
$\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)
=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
が $0$ ということである．
内積の一般的な定義等については後述する．
$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)$，
$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}4\\5\\6\end{array}\right)$ とすると
$\mathbf{a}\times\mathbf{b}
=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)
\times
\left(\begin{array}{c}4\\5\\6\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}2\cdot6-3\cdot5\\3\cdot4-1\cdot6\\1\cdot5-2\cdot4\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}-3\\6\\-3\end{array}\right)
$
となり，確かにそれぞれとの内積は
$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})
=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)
\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\6\\-3\end{array}\right)\\[1mm]
\hspace{45pt}=1\cdot(-3)+2\cdot6+3\cdot(-3)=0
$
$\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})
=\left(\begin{array}{c}4\\5\\6\end{array}\right)
\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\6\\-3\end{array}\right)\\[1mm]
\hspace{45pt}=4\cdot(-3)+5\cdot6+6\cdot(-3)=0
$
となっている．
$xyz$空間において，$\left(\begin{array}{c}p\\q\\r\end{array}\right)$ を
法線ベクトルとし，点 $(x_0,y_0,z_0)$ を通る平面の方程式は
$p(x-x_0)+q(y-y_0)+r(z-z_0)=0$
で与えらえる
詳しく!．
点 $\mathrm{A}(x_0,y_0,z_0)$ を通り，
$\mathbf{n}=\left(\begin{array}{c}p\\q\\r\end{array}\right)$
を法線ベクトルとする平面上の任意の点を $\mathrm{P}(x,y,z)$ とすると $\mathrm{P}$ が満たすべき条件は $\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=0$ なので
$\left(\begin{array}{c}p\\q\\r\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x-a_1\\y-a_2\\z-a_3\end{array}\right)=0$
から
$p(x-x_0)+q(y-y_0)+r(z-z_0)=0$
が得られる．
法線ベクトルとはその平面に垂直なベクトルのことであるから，外積を用いると法線ベクトルを容易に求めることができる．
$3$ 点 $\mathrm{A}(2,1,2)$，$\mathrm{B}(5,-1,2)$，$\mathrm{C}(3,2,1)$ を通る平面の方程式を求めよう．
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}
=\left(\begin{array}{c}3\\-2\\0\end{array}\right)
\times
\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}2\\3\\5\end{array}\right)$
であるから，これを法線ベクトルとし，$\mathrm{A}(2,1,2)$ を通ることより
$2(x-2)+3(y-1)+5(z-2)=0$
すなわち
$2x+3y+5z=17$
となる．
$\mathbf{R}^3$の平行でない $2$ 本のベクトル $\mathbf{a},\mathbf{b}$ は，$\mathbf{R}^3$ の $2$ 次元部分空間を生成し
$\langle\,\mathbf{a},\ \mathbf{b}\,\rangle=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\ \right|\ px+qy+rz=0\,\right\}$
と表わされる．
$xyz$ 空間における点とその位置ベクトルを同一視する観点から見ると，$\mathbf{R}^3$ の $2$ 次元部分空間は原点を通る平面とみなすことができるのである．
このとき，ベクトル $\left(\begin{array}{c}p\\q\\r\end{array}\right)$ は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方と垂直なはずであるから，$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ と平行である．
従って，$\mathbf{R}^3$ の $2$ 次元部分空間に関しては，その基底の外積を利用することで容易に $\{\,\mathbf{x}\ |\ A\mathbf{x}=\mathbf{0}\,\}$ という形の表示を得ることができる．
$W=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right)
\right\rangle$
は，$\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right)$
が平行でないことから $2$ 次元部分空間であることがわかり
$\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}-4\\8\\-4\end{array}\right)
=-4\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)$
より，$W$ は $\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)$ と垂直なすべてのベクトルからなる集合であるから
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\ \right|\ x-2y+z=0\,\right\}$
と表わされる．
この外積を用いた計算は，飽くまでも $\mathbf{R}^3$ のみで通用するのであって，例えば $\mathbf{R}^4$ でこれに対応するような計算法はない．とは言え，ベクトル空間における部分空間というものをイメージとして把握するために，$\mathbf{R}^3$ の場合でこのような計算に習熟しておくことは一般論を理解する上で大きな助けになるであろう．