行列の共役転置 行列 $A$ の
共役転置${}^t\overline{A}$とは，その転置行列の各成分の複素共役をとったものをいう
例えば？．
例えば
$A=\left(\begin{array}{ccc}1+i&3&-2i\\-1&2-5i&1+\sqrt{2}i\end{array}\right)$
ならば
${}^t\overline{A}=\left(\begin{array}{cc}1-i&-1\\3&2+5i\\2i&1-\sqrt{2}i\end{array}\right)$
共役転置は，複素数ベクトル空間のドット積との関係において現れる．すなわち，$m\times n$ 行列 $A$ について，次が成り立つ．
$
A\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=\mathbf{x}\cdot{}^t\overline{A}\mathbf{y}
\qquad(\forall\mathbf{x}\in\mathbf{C}^n,\ \forall\mathbf{y}\in\mathbf{C}^m)
$
証明pdf．
$A$ が実行列ならば当然 ${}^t\overline{A}={}^t\!A$ である．
第21講で少し触れたが，実行列とその転置行列は実数ベクトル空間のドット積との関係
$
A\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=\mathbf{x}\cdot{}^t\!A\mathbf{y}
\qquad(\forall\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n,\ \forall\mathbf{y}\in\mathbf{R}^m)
$
によって特徴づけられる．複素行列の場合は，$\mathbf{C}^n$ のドット積が複素共役をとる操作を含むことから，転置してさらに複素共役をとったものが重要となる．
随伴行列 $\mathbf{C}^n$，$\mathbf{C}^m$ にそれぞれ内積 $(\cdot,\cdot)_n$，$(\cdot,\cdot)_m$ が与えられているとき，$m\times n$ 行列 $A$ は内積空間 $(\mathbf{C}^n,(\cdot,\cdot)_n)$ から内積空間 $(\mathbf{C}^m,(\cdot,\cdot)_m)$ への線型写像を定めるが，このとき $A$ の
随伴行列とは
$(A\mathbf{x},\mathbf{y})_m=(\mathbf{x},A^*\mathbf{y})_n\qquad(\forall\mathbf{x}\in\mathbf{C}^n,\ \forall\mathbf{y}\in \mathbf{C}^m)$
を満たす $n\times m$ 行列 $A^*$ のことをいう．
このような行列 $A^*$ は一意に定まる．この後いくつか同様の場面が現れるので，ここで一般に内積空間 $(V,(\cdot,\cdot))$ において成り立つ次の重要な事実を確認してお<く：
$(\mathbf{w},\mathbf{v})=0\,\ (\forall \mathbf{v}\in V)\ \Leftrightarrow\ \mathbf{w}=\mathbf{0}$
すなわち
「すべてのベクトルと直交するベクトルは零ベクトルに限る」
ということである．このことは，$\mathbf{w}$ を $V$ の正規直交基底 $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_n\}$ により
$\mathbf{w}=c_1\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2+\cdots+c_n\mathbf{u}_n$
と表わしたとき，$(\mathbf{w},\mathbf{u}_i)=c_i=0\ (i=1,2,\ldots,n)$ より $\mathbf{w}=\mathbf{0}$ が従うことからわかる．
今の場合で言うと，もし
$(A\mathbf{x},\mathbf{y})_m=(\mathbf{x},B\mathbf{y})_n\qquad(\forall\mathbf{x}\in\mathbf{C}^n,\ \forall\mathbf{y}\in \mathbf{C}^m)$
$(A\mathbf{x},\mathbf{y})_m=(\mathbf{x},C\mathbf{y})_n\qquad(\forall\mathbf{x}\in\mathbf{C}^n,\ \forall\mathbf{y}\in \mathbf{C}^m)$
がともに成り立ったとすると，内積の線型性により
$(\mathbf{x},(B-C)\mathbf{y})_n=(\mathbf{x},B\mathbf{y})_n-(\mathbf{x},C\mathbf{y})_n=0\qquad(\forall\mathbf{x}\in\mathbf{C}^n,\ \forall\mathbf{y}\in \mathbf{C}^m)$
から
$(B-C)\mathbf{y}=\mathbf{0}\qquad(\forall\mathbf{y}\in\mathbf{C}^n)$
従って $B-C$ は零行列，すなわち $B=C$ となる．
，前項で見たように随伴行列は共役転置に一致する：
$A^*={}^t\overline{A}$
しかし一般の内積では必ずしもそうはならない．実際，$\mathbf{C}^n$ における内積 $(\cdot,\cdot)_n$ は適当な正則行列 $H_n$ を用いて
$(\mathbf{x},\mathbf{y})_n=\mathbf{x}\cdot H_n\mathbf{y}$
と，ドット積で表すことができる
詳しく！
例えば，$\mathbf{C}^2$ の内積が $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)$，$\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)$ に対して
$(\mathbf{x}.\mathbf{y})=x_1\overline{y_1}+2ix_1\overline{y_2}-2ix_2\overline{y_1}+5x_2\overline{y_2}$
により与えられているとすると
$(\mathbf{x}.\mathbf{y})=x_1(\overline{y_1}+2i\overline{y_2})+x_2(-2i\overline{y_1}+5\overline{y_2})\\
\hspace{25pt}=x_1(\overline{y_1-2iy_2})+x_2(\overline{2iy_1+5y_2})\\
\hspace{25pt}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}y_1-2iy_2\\2iy_1+5y_2\end{array}\right)\\
\hspace{25pt}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}1&-2i\\2i&5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)$
と表わすことができる．実は $\mathbf{C}^n$ (あるいは $\mathbf{R}^n$）の内積はすべてこのような形をしているのである
証明pdf．
から，$m\times n$ 行列 $A$ の随伴行列は
$(A\mathbf{x},\mathbf{y})_m=A\mathbf{x}\cdot H_m\mathbf{y}\\
\hspace{39pt}=\mathbf{x}\cdot {}^t\overline{A}H_m\mathbf{y}\\
\hspace{39pt}=\mathbf{x}\cdot H_n{H_n}^{-1}\,{}^t\overline{A}H_m\mathbf{y}\\
\hspace{39pt}=(\mathbf{x}, {H_n}^{-1}\,{}^t\overline{A}H_m\mathbf{y})_n$
より
$A^*={H_n}^{-1}\,{}^t\overline{A}H_m$
で与えられることになる．
$\mathbf{C}^2$ における次の内積を $\mathbf{x}\cdot H\mathbf{y}$ の形で表せ．ただし $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)$，$\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)$ である．
$\mathrm{(1)}\ (\mathbf{x},\mathbf{y})_a=x_1\overline{y_1}+2x_2\overline{y_2}$
$\mathrm{(2)}\ (\mathbf{x},\mathbf{y})_b=2x_1\overline{y_1}+x_1\overline{y_2}+x_2\overline{y_1}+2x_2\overline{y_2}$
$\mathrm{(3)}\ (\mathbf{x},\mathbf{y})_c=3x_1\overline{y_1}+ix_1\overline{y_2}-ix_2\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}$
| $\mathrm{(1)}$ |
$(\mathbf{x},\mathbf{y})_a=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}y_1\\2y_2\end{array}\right)\\
\hspace{27pt}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)$
|
| $\mathrm{(2)}$ |
$(\mathbf{x},\mathbf{y})_b=x_1(2\overline{y_1}+\overline{y_2})+x_2(\overline{y_1}+2\overline{y_2})\\
\hspace{27pt}=x_1(\overline{2y_1+y_2})+x_2(\overline{y_1+2y_2})\\
\hspace{27pt}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2y_1+y_2\\y_1+2y_2\end{array}\right)\\
\hspace{27pt}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)$
|
| $\mathrm{(3)}$ |
$(\mathbf{x},\mathbf{y})_c=x_1(3\overline{y_1}+i\overline{y_2})+x_2(-i\overline{y_1}+\overline{y_2})\\
\hspace{27pt}=x_1(\overline{3y_1-iy_2})+x_2(\overline{iy_1+y_2})\\
\hspace{27pt}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}3y_1-iy_2\\iy_1+y_2\end{array}\right)\\
\hspace{27pt}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}3&-i\\i&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)$
|
$\mathbf{C}^2$ の内積を
$\left(\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)\right)_2=x_1\overline{y_1}+2x_2\overline{y_2}\\
\hspace{78pt}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)$
$\mathbf{C}^3$ の内積を
$\left(\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\right)_3=x_1\overline{y_1}+2x_2\overline{y_2}+3x_3\overline{y_3}\\
\hspace{88pt}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)$
とする．
-
行列 $A=\left(\begin{array}{cc}1&2i\\i&-3\\4i&6-2i\end{array}\right)$ の随伴行列 $A^*$ は
$(A\mathbf{x},\mathbf{y})_3=(\mathbf{x},A^*\mathbf{y})_2\qquad(\forall\mathbf{x}\in\mathbf{C}^2,\forall\mathbf{y}\in\mathbf{C}^3)$
を満たす行列であって
$A^*=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&2\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc}1&-i&-4i\\-2i&-3&6+2i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right)\\
\hspace{10pt}=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1/2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&-i&-4i\\-2i&-3&6+2i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right)\\
\hspace{10pt}=\left(\begin{array}{ccc}1&-2i&-12i\\-i&-3&9+3i\end{array}\right)$
となる．
-
行列 $B=\left(\begin{array}{cc}2+i&-2i\\0&1+3i\end{array}\right)$ の随伴行列 $B^*$ は
$(B\mathbf{x},\mathbf{y})_2=(\mathbf{x},B^*\mathbf{y})_2\qquad(\forall\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbf{C}^2)$
を満たす行列であって
$B^*=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&2\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc}2-i&0\\2i&1-3i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&2\end{array}\right)\\
\hspace{10pt}=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1/2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2-i&0\\2i&1-3i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&2\end{array}\right)\\
\hspace{10pt}=\left(\begin{array}{ccc}2-i&0\\i&1-3i\end{array}\right)$
となる．
$m=n$ であっても二種類の内積空間 $(\mathbf{C}^n,(\cdot,\cdot)_a)$ と $(\mathbf{C}^n,(\cdot,\cdot)_b)$ を考えることもあり得る．その場合は $n$ 次正方行列 $A$ がどちらからどちらへの線型写像を定めているのかはその都度指定する必要がある．すなわち，$A$ が $(\mathbf{C}^n,(\cdot,\cdot)_a)$ から $(\mathbf{C}^n,(\cdot,\cdot)_b)$ への線型写像を定めているとするなら，その随伴行列は
$(A\mathbf{x},\mathbf{y})_b=(\mathbf{x},A^*\mathbf{y})_a$
により定義されるし，逆であれば
$(A\mathbf{x},\mathbf{y})_a=(\mathbf{x},A^*\mathbf{y})_b$
ということになる．
実際にはこのような場合は少なく，正方行列は同一の内積空間における変換を定めていると考えることが多いのであまり神経質になることはないが，
随伴行列は内積との関係により決まるということは常に意識しておきたい．
unitary行列 $\mathbf{C}^n$ の内積を $(\cdot,\cdot)_n$ とするとき
$(U\mathbf{x},U\mathbf{y})_n=(\mathbf{x},\mathbf{y})_n\qquad(\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{C}^n)$
を満たす $n$ 次正方行列 $U$ を
unitary行列という．この条件は
$U^*U=UU^*=E$
と同値である
詳しく！．
随伴行列の定義により
$(U\mathbf{x},U\mathbf{y})_n=(\mathbf{x},\mathbf{y})_n\qquad(\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{C}^n)$
は
$(\mathbf{x},U^*U\mathbf{y})_n=(\mathbf{x},\mathbf{y})_n\qquad(\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{C}^n)$
と同値であり，このことは
$U^*U=E$
と(さらに $UU^*=E$ とも)同値である．従って
$(U^*\mathbf{x},U^*\mathbf{y})_n=(\mathbf{x},\mathbf{y})_n\qquad(\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{C}^n)$
もまた同値な条件であることにも注意しておこう．
$\mathbf{C}^n$ の内積がドット積のときは $A^*={}^t\overline{A}$ であるから，unitary行列とは
${}^t\overline{U}U=U\,{}^t\overline{U}=E$
を満たす行列ということになり，そのような行列は$\mathbf{C}^n$ の正規直交基底を並べた形をしている
詳しく！．
例えば，$\left\{\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right),\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}i\\1\end{array}\right)\,\right\}$ は $\mathbf{C}^2$ (内積はドット積)の正規直交基底であり，これを並べて
$U=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$
とすると
${}^t\overline{U}U=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{i}{\sqrt{2}}\\-\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$
$U{}^t\overline{U}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{i}{\sqrt{2}}\\-\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$
を満たし，確かに $U$ はunitary行列である．もう少し一般に，$A=\left(\begin{array}{cc}z_1&w_1\\z_2&w_2\end{array}\right)$ とするとき
${}^t\overline{A}A=\left(\begin{array}{cc}\overline{z_1}&\overline{z_2}\\\overline{w_1}&\overline{w_2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}z_1&w_1\\z_2&w_2\end{array}\right)\\
\hspace{17pt}=\left(\begin{array}{cc}|z_1|^2+|z_2|^2&\overline{z_1}w_1+\overline{z_2}w_2\\z_1\overline{w_1}+z_2\overline{w_2}&|w_1|^2+|w_2|^2\end{array}\right)$
となるから
${}^t\overline{A}A=E\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}|z_1|^2+|z_2|^2=1\\
\overline{z_1}w_1+\overline{z_2}w_2=0\\z_1\overline{w_1}+z_2\overline{w_2}=0\\|w_1|^2+|w_2|^2=1\end{array}\right.$
であり，この右辺は $\left\{\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}w_1\\w_2\end{array}\right)\,\right\}$ が $\mathbf{C}^2$ の正規直交基底であることを意味する．一般のサイズについても同様である．
しつこいようだが，飽くまで内積がドット積である場合の話である．
$\mathbf{R}^n$ (内積はドット積)の正規直交基底 $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_n\}$ を並べて得られる行列 $T=(\mathbf{u}_1\ \mathbf{u}_2\ \cdots\ \mathbf{u}_n)$ は
${}^tTT=T\,{}^tT=E$
を満たし，直交行列と呼ばれるのであったことも思い出そう(
第21講)．従って
(実)直交行列はunitary行列である
といえる．なぜなら，$\mathbf{R}^n$ (内積はドット積)の正規直交基底は $\mathbf{C}^n$ (内積はドット積) の正規直交基底でもあるからである
詳しく！．
例えば $\mathbf{R}^2$ の標準基底
$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\right\}$
が $\mathbf{C}^2$ の標準基底でもあることは明らかであろう．あるいは
$\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\}=\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right),\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\right\}$
は $\mathbf{R}^2$ の正規直交基底であるが，$\mathbf{C}^2$ の正規直交基底でもある．実際，正規直交性
$\left\{\begin{array}{l}\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1=1\\
\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2=\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_1=0\\\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_2=1\end{array}\right.$
については，これらは実ベクトルなので $\mathbf{R}^2$ のドット積とみても $\mathbf{C}^2$ のドット積とみても同じことであり，$\mathbf{C}^2$ の任意のベクトル $\mathbf{z}=\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)$ に対して
$\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_1\\c_2\end{array}\right)$
すなわち
$\mathbf{z}=c_i\mathbf{u}_1+c_2\mathbf{u}_2$
を満たす $c_1,c_2\in\mathbf{C}$ が存在するから，確かにこれは $\mathbf{C}^2$ の正規直交基底である．
$U$ をunitary行列とするとき，次が成り立つ：
-
$U$ の固有値は絶対値が1の複素数である詳しく！．
$U\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\ (\mathbf{v}\neq\mathbf{0})$ とすると，unitary行列の定義と内積の性質により
$(\mathbf{v},\mathbf{v})_n=(U\mathbf{v},U\mathbf{v})_n=(\lambda\mathbf{v},\lambda\mathbf{v})_n=\lambda\overline{\lambda}(\mathbf{v},\mathbf{v})_n=|\lambda|^2(\mathbf{v},\mathbf{v})_n$
よって $(\mathbf{v},\mathbf{v})_n\neq 0$ より $|\lambda|=1$ とわかる．
-
$U$ は対角化可能である．すなわち，適当な正則行列 $V$ と対角行列 $D$ によって
$U=VDV^{-1}$
と表わされる．この $V$ としては $\mathbf{C}^n$ の正規直交基底 $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\}$ によって $V=(\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \cdots\ \mathbf{v}_n)$ と表されるものをとることができる証明pdf．
上の注意で述べたように，
内積がドット積ならば $\mathbf{C}^n$ の正規直交基底を並べて得られる行列はunitary行列となるから
unitary行列はunitary行列により対角化される
ということができる．では「(実)直交行列は(実)直交行列により対角化される」かというとそうとは限らない．例えば
$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$
は(実)直交行列(従ってunitary行列)であるから対角化可能であるが，固有値は $\dfrac{1\pm i}{\sqrt{2}}$ と虚数なのでそれぞれに属する固有ベクトルも虚数を成分にもつ．対角化を実行すると
$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc}\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1+i}{\sqrt{2}}&0\\0&\frac{1-i}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$
となり，(実)直交行列でないunitary行列を用いることになる．
$\mathbf{C}^2$ の内積をドット積とすると
$A=\left(\begin{array}{cc}\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$
はunitary行列であり，unitary行列により対角化できるはずである．$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ が煩わしいので
$A'=\left(\begin{array}{cc}i&1\\1&i\end{array}\right)$
とおき，これを対角化すると
$\left|\begin{array}{cc}i-\lambda&1\\1&i-\lambda\end{array}\right|
=\lambda^2-2i\lambda-2=0$
より固有値は $\lambda=\pm1+i$，それぞれに属する固有空間は
$W(1+i)=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\right\rangle$
$W(-1+i)=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\right\rangle$
とわかるので，それぞれの基底を正規(直交)化して
$A'\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1+i&0\\0&-1+i\end{array}\right)$
から
$A'=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1+i&0\\0&-1+i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$
となる．よって両辺を $\sqrt{2}$ で割ることにより
$A=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1+i}{\sqrt{2}}&0\\0&\frac{-1+i}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$
を得る．$A$ の固有値 $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$，$\frac{-1+i}{\sqrt{2}}$ が確かに絶対値$1$の複素数であることに注意しよう．
Hermite行列 $\mathbf{C}^n$ の内積を $(\cdot,\cdot)_n$ とするとき
$(H\mathbf{x},\mathbf{y})_n=(\mathbf{x},H\mathbf{y})_n\qquad(\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{C}^n)$
を満たす $n$ 次正方行列を
Hermite行列という．この条件は
$H^*=H$
と同値である．
$\mathbf{C}^n$ の内積がドット積のときは Hermite行列とは
${}^t\overline{H}＝H$
を満たす行列である．従って，${}^t\!A=A$ なる実行列 $A$ もこの条件を満たす．すなわち
(実)対称行列はHermite行列である
といえる．
$H$ をHermite行列とするとき，次が成り立つ：
-
$H$ の固有値は実数である詳しく！．
$H\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\ (\mathbf{v}\neq\mathbf{0})$ とすると，Hermite行列の定義と内積の性質により
$\lambda(\mathbf{v},\mathbf{v})_n=(\lambda\mathbf{v},\mathbf{v})_n=(H\mathbf{v},\mathbf{v})_n=(\mathbf{v},H\mathbf{v})_n=(\mathbf{v},\lambda\mathbf{v})_n=\overline{\lambda}(\mathbf{v},\mathbf{v})_n$
よって $(\mathbf{v},\mathbf{v})_n\neq 0$ より $\lambda=\overline{\lambda}$ すなわち $\lambda$ は実数である．
-
$H$ は対角化可能である．すなわち，適当な正則行列 $V$ と対角行列 $D$ によって
$H=VDV^{-1}$
と表わされる．この $V$ としては $\mathbf{C}^n$ の正規直交基底 $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\}$ によって $V=(\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \cdots\ \mathbf{v}_n)$ と表されるものをとることができる証明pdf．
対角化に関してはunitary行列のときとまったく同じことを言っているが，やはり
内積がドット積ならば
Hermite行列はunitary行列により対角化される
ということができる．特に
(実)対称行列は直交行列により対角化される(
第21講)
なぜなら，(実)対称行列はHermite行列であるからその固有値は実数，従ってそれに属する固有ベクトルも実ベクトルがとれるからである．前節の注意で述べた(実)直交行列の対角化と比較されたい．
実はこの対角化可能性は
$A^*A=AA^*$
を満たす行列(
正規行列という)が共通にもつ性質である．unitary行列，Hermite行列以外の正規行列の例としては，例えば
$\left(\begin{array}{cc}i&0\\0&i\end{array}\right)$
のように $A^*=-A$ を満たす
歪Hermite行列と呼ばれる行列などがある．一般に
正規行列はunitary行列により対角化される
ということが成り立ち，特に実対称行列の場合はunitary行列として直交行列をとることができるのである．
$\mathbf{C}^n$ の内積をドット積とする．この場合のHermite行列は
${}^t\overline{H}=H$
を満たす行列であり，unitary行列により対角化される．
-
$A=\left(\begin{array}{cc}2&-i\\i&2\end{array}\right)$ を対角化してみよう．
固有方程式
$\left|\begin{array}{cc}2-\lambda&-i\\i&2-\lambda\end{array}\right|=\lambda^2-2\lambda+3=0$
より固有値は $\lambda=1,3$．固有値 $\lambda=1$ に属する固有空間は
$W(1)=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)\,\right|\,\left(\begin{array}{cc}1&-i\\i&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\,\right\}\\
\hspace{21pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)\,\right|\,z_1-iz_2=0\,\right\}$
となり，基底として $\left\{\,\left(\begin{array}{c}i\\1\end{array}\right)\,\right\}$ がとれる．正規(直交)化して $\left\{\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}i\\1\end{array}\right)\,\right\}$ としておこう．固有値 $\lambda=3$ に属する固有空間は
$W(3)=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)\,\right|\,\left(\begin{array}{cc}-1&-i\\i&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\,\right\}\\
\hspace{29pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)\,\right|\,iz_1-z_2=0\,\right\}$
となり，基底として $\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right)\,\right\}$ がとれ，正規(直交)化して $\left\{\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right)\,\right\}$ が得られる．．
よって $A$ は
$A\left(\begin{array}{cc}\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc}\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&3\end{array}\right)$
から
$A=\left(\begin{array}{cc}\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right)^{-1}\\
\hspace{8pt}=\left(\begin{array}{cc}\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{i}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{i}{2}\end{array}\right)$
と対角化できる．