複素数ベクトルと複素行列の演算 複素数ベクトル空間は
$\mathbf{C}^n=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{array}\right)\,\right|\,z_1,z_2,\ldots,z_n\in \mathbf{C}\,\right\}$
により定義される．実数ベクトルと同様に，複素数ベクトルはいくつかの複素数の組であって，和とスカラー倍が定義されている
詳しく！．
実数ベクトルと同様に，成分ごとに計算すればよい：
$\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}z'_1\\z'_2\\\vdots\\z'_n\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}z_1+z'_1\\z_2+z'_2\\\vdots\\z_n+z'_n\end{array}\right)$
$k\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}kz_1\\kz_2\\\vdots\\kz_n\end{array}\right)\qquad(k\in\mathbf{C})$
特に，スカラーは複素数であることに注意しよう．スカラーを実数として考えることもできなくはないがあまり行われない．
複素数の場合はしばしば複素共役
何だっけ？
複素数 $z$ の虚部の符号を変えたものを $z$ の複素共役といい， $\overline{z}$ と表わす．例えば
$\overline{2+5i}=2-5i$
$\overline{-4i}=4i$
$\overline{3}=3$
など．
をとるという操作を行う．$\mathbf{z}\in\mathbf{C}^n$ のすべての成分の複素共役をとったベクトルを $\overline{\mathbf{z}}$ と書く．
計算せよ．
$\mathrm{(1)}$ $2i\left(\begin{array}{c}4\\-i\end{array}\right)+\overline{\left(\begin{array}{c}1\\1-3i\end{array}\right)}$
$\mathrm{(2)}$ $(1+i)\overline{\left(\begin{array}{c}1-i\\1+i\end{array}\right)}-(1-i)\left(\begin{array}{c}1-i\\1+i\end{array}\right)$
| $\mathrm{(1)}$ |
$2i\left(\begin{array}{c}4\\-i\end{array}\right)+\overline{\left(\begin{array}{c}1\\1-3i\end{array}\right)}\\
\hspace{50pt}=\left(\begin{array}{c}8i\\2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\1+3i\end{array}\right)\\
\hspace{50pt}=\left(\begin{array}{c}1+8i\\3+3i\end{array}\right)$
|
| $\mathrm{(2)}$ |
$(1+i)\overline{\left(\begin{array}{c}1-i\\1+i\end{array}\right)}-(1-i)\left(\begin{array}{c}1-i\\1+i\end{array}\right)\\
\hspace{40pt}=(1+i)\left(\begin{array}{c}1+i\\1-i\end{array}\right)-(1-i)\left(\begin{array}{c}1-i\\1+i\end{array}\right)\\
\hspace{40pt}=\left(\begin{array}{c}2i\\2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2i\\2\end{array}\right)\\
\hspace{40pt}=\left(\begin{array}{c}4i\\0\end{array}\right)$
|
一次独立性，部分空間とその基底なども実の場合と同様に定義される
詳しく！．
- $\mathbf{C}^n$ のベクトルの組 $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_m,\}$ が一次独立であるとは
$c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_m\mathbf{v}_m=\mathbf{0}\quad(c_1,c_2,\ldots,c_m\in\mathbf{C})$
が成り立つのは $c_1=c_2=\cdots=c_m=0$ のときに限る
ことをいう．一次独立でない組を一次従属という．
-
$\mathbf{C}^n$ の部分集合 $W$ が $\mathbf{C}^n$ の部分空間であるとは
$\mathbf{z},\mathbf{z}'\in W\ \Rightarrow\ \mathbf{z}+\mathbf{z}'\in W$
$\mathbf{z}\in W,\ k\in\mathbf{C}\ \Rightarrow\ k\mathbf{z}\in W$
を満たすことをいう．例によってこの二条件は
$\mathbf{z},\mathbf{z}'\in W,\ k,l\in\mathbf{C}\ \Rightarrow\ k\mathbf{z}+l\mathbf{z}'\in W$
と一つにまとめられる．
$\mathbf{C}^n$ の部分空間は複素行列(複素数を成分とする行列)によって
$\{\,\mathbf{z}\in \mathbf{C}^n\,|\,A\mathbf{z}=\mathbf{0}\,\}$
という形に表される．また
$\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_m\,\rangle\\
\hspace{20pt}=\{\,c_1\mathbf{a}_1+c_2\mathbf{a}_2+\cdots+c_m\mathbf{a}_m\,|\,c_1,c_2,\ldots,c_m\in \mathbf{C}\,\}$
という表記もこれまでと同様であるが，スカラーが $\mathbf{C}$ であることに注意．
-
ベクトルの組 $\{\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_m\,\}$ がベクトル空間(部分空間) $W$ の基底であるとは，次の二つの条件を満たすことをいう．
基底を構成するベクトルの本数のことを $W$ の次元といい，$\mathrm{dim}W$ で表す．やはりスカラーは $\mathbf{C}$ であることに注意．例えば，$\mathbf{C}^2$ の基底としては標準基底 $\left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\right\}$ がとれるから，$\dim\mathbf{C}^2=2$ である．
一次独立か？
$\mathrm{(1)}$ $\left\{\left(\begin{array}{c}1\\1-i\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1+i\\2\end{array}\right)\right\}$
$\mathrm{(2)}$ $\left\{\left(\begin{array}{c}2i\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2+2i\\1-i\end{array}\right)\right\}$
$\mathrm{(3)}$ $\left\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\i\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}i\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)\right\}$
行列の列基本変形を利用するとよい．
| $\mathrm{(1)}$ |
$\left(\begin{array}{cc}1&1+i\\1-i&2\end{array}\right)
\to\left(\begin{array}{cc}1&0\\1-i&0\end{array}\right)\quad[\,\mathrm{c}_1\stackrel{\times(-1-i)}{\to}\mathrm{c}_2\,]$
より一次従属．
|
| $\mathrm{(2)}$ |
$\left(\begin{array}{cc}2i&-2+2i\\1&1-i\end{array}\right)
\to\left(\begin{array}{cc}2i&-2\\1&-i\end{array}\right)\quad[\,\mathrm{c}_1\stackrel{\times(-1)}{\to}\mathrm{c}_2\,]\\
\hspace{70pt}\to\left(\begin{array}{cc}2i&0\\1&-2i\end{array}\right)\quad[\,\mathrm{c}_1\stackrel{\times(-i)}{\to}\mathrm{c}_2\,]\\
$
より一次独立．
|
| $\mathrm{(3)}$ |
$\left(\begin{array}{ccc}1&i&0\\0&1&1\\i&0&1\end{array}\right)
\to\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\i&1&1\end{array}\right)\quad[\,\mathrm{c}_1\stackrel{\times(-i)}{\to}\mathrm{c}_2\,]\\
\hspace{55pt}\to\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\i&1&0\end{array}\right)\quad[\,\mathrm{c}_2\stackrel{\times(-1)}{\to}\mathrm{c}_3\,]\\
$
より一次従属．
|
$\mathbf{C}^n$ のベクトルを $\mathbf{C}^m$ のベクトルに移す線型写像は，複素 $m\times n$ 行列(複素数を成分とする $m$ 行 $n$ 列行列)により表される．その和，スカラー倍，積，あるいは行列式，逆行列，余因子行列，階数などは実行列の場合とまったく同様に定義される．複素行列 $A$ のすべての成分の複素共役をとった行列を $\overline{A}$ と書く．特に，次が成り立つ：
$\det{\overline{A}}=\overline{\det{A}}$
${\overline{A}}\,{}^{-1}=\overline{A^{-1}}$
$\mathrm{rank}\overline{A}=\mathrm{rank}{A}$
詳しく！
これらのことは，複素共役に関する性質
$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w},\quad\overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}\,\quad(z,w\in\mathbf{C})$
より従う．すなわち，複素共役をとるという操作は，和や積(あるいは商)を行う前にとっても後にとっても結果は同じということである．従って，行列の和，スカラー倍，積についても
$\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B},\quad\overline{kA}=\overline{k}\,\overline{A},\quad\overline{AB}=\overline{A}\ \overline{B}$
ということが成り立つし，行列式は成分の積と和により計算されるのであるから
$\det{\overline{A}}=\overline{\det{A}}$
が，また
$\overline{A}\ \overline{A^{-1}}=\overline{AA^{-1}}=\overline{E}=E$
から $\overline{A^{-1}}$ が $\overline{A}$ の逆行列であることがわかる．階数に関しては
$c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_m\mathbf{v}_m=\mathbf{0}\\
\hspace{20pt} \Leftrightarrow\ \overline{c_1}\,\overline{\mathbf{v}_1}+\overline{c_2}\,\overline{\mathbf{v}_2}+\cdots+\overline{c_m}\,\overline{\mathbf{v}_m}=\mathbf{0}$
から
$\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_m\}$ が一次独立ならば $\{\overline{\mathbf{v}_1},\overline{\mathbf{v}_2},\ldots,\overline{\mathbf{v}_m}\}$ も一次独立
ということに注意すればよい．
複素行列としての単位行列もこれまで通り
$E=\left(\begin{array}{cccc}1&&&\\&1&&\\&&\ddots&\\&&&1\end{array}\right)$
である．単位行列とはすべての正方行列 $A$ に対して $AE=EA=A$ となる行列であるから，このことを確かめるのは容易であろう．
-
$A=\left(\begin{array}{cc}-3&1-i\\2i&-1\end{array}\right)$ とすると，
$\overline{A}=\left(\begin{array}{cc}-3&1+i\\-2i&-1\end{array}\right)$ であって，$A$ の行列式は
$\det{A}=\left|\begin{array}{cc}-3&1-i\\2i&-1\end{array}\right|\\
\hspace{24pt}=-3\cdot(-1)-(1-i)\cdot 2i\\
\hspace{24pt}=1-2i$
従って $\overline{A}$ の行列式は $\det{\overline{A}}=\overline{1-2i}=1+2i$．また，$A$ の逆行列は
$A^{-1}=\dfrac{1}{1-2i}\left(\begin{array}{cc}-1&-1+i\\-2i&-3\end{array}\right)\\
\hspace{17pt}=\dfrac{1+2i}{5}\left(\begin{array}{cc}-1&-1+i\\-2i&-3\end{array}\right)$
従って $\overline{A}$ の逆行列は
$\overline{A}\,{}^{-1}=\overline{A^{-1}}=\dfrac{1-2i}{5}\left(\begin{array}{cc}-1&-1-i\\2i&-3\end{array}\right)$
となる．
-
$B=\left(\begin{array}{ccc}1+i&2&1\\-1&-2+i&-1\\1&2&1+i\end{array}\right)$ とすると，
$B$ の行列式は
$\det{B}=\left|\begin{array}{ccc}1+i&2&1\\-1&-2+i&-1\\1&2&1+i\end{array}\right|\\
\hspace{24pt}=\left|\begin{array}{ccc}i&0&-i\\0&i&i\\1&2&1+i\end{array}\right|\quad \begin{array}{l}[\,\mathrm{r}_3\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{r}_1\,]\\
[\,\mathrm{r}_3\stackrel{\times 1}{\to}\mathrm{r}_2\,]\end{array}\\
\hspace{24pt}=\left|\begin{array}{ccc}i&0&0\\0&i&i\\1&2&2+i\end{array}\right|\quad \begin{array}{l}[\,\mathrm{c}_1\stackrel{\times 1}{\to}\mathrm{c}_3\,]\end{array}\\
\hspace{24pt}=i\cdot\left|\begin{array}{cc}i&i\\2&2+i\end{array}\right|\quad (\mbox{第1行で展開})\\
\hspace{24pt}=i\cdot\{\,i(2+i)-2i\,\}=-i$
従って $\det{\overline{B}}=i$．$B$ の余因子行列は
$\tilde{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1-i&-2i&-i\\i&-1+2i&i\\-i&-2i&-1-i\end{array}\right)$
となる詳しく！．
実の場合とまったく同様に計算すればよい．念のため各余因子を確認すると
$\tilde{b}_{11}=\left|\begin{array}{cc}-2+i&-1\\2&1+i\end{array}\right|=-1-i$
$\tilde{b}_{12}=-\left|\begin{array}{cc}-1&-1\\1&1+i\end{array}\right|=i$
$\tilde{b}_{13}=\left|\begin{array}{cc}-1&-2+i\\1&2\end{array}\right|=-i$
$\tilde{b}_{21}=-\left|\begin{array}{cc}2&1\\2&1+i\end{array}\right|=-2i$
$\tilde{b}_{22}=\left|\begin{array}{cc}1+i&1\\1&1+i\end{array}\right|=-1+2i$
$\tilde{b}_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1+i&2\\1&2\end{array}\right|=-2i$
$\tilde{b}_{31}=\left|\begin{array}{cc}2&1\\-2+i&-1\end{array}\right|=-i$
$\tilde{b}_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1+i&1\\-1&-1\end{array}\right|=i$
$\tilde{b}_{33}=\left|\begin{array}{cc}1+i&2\\-1&-2+i\end{array}\right|=-1-i$
となる．$\tilde{B}={}^t(\tilde{b_{ij}})$ であった．各余因子の配置に注意．
$B^{-1}=\dfrac{1}{\det{B}}\tilde{B}\\
\hspace{16pt}=\dfrac{1}{-i}\left(\begin{array}{ccc}-1-i&-2i&-i\\i&-1+2i&i\\-i&-2i&-1-i\end{array}\right)\\
\hspace{16pt}=\left(\begin{array}{ccc}1-i&2&1\\-1&-2-i&-1\\1&2&1-i\end{array}\right)$
が得られる．掃き出し法なら
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1+i&2&1&1&0&0\\-1&-2+i&-1&0&1&0\\1&2&1+i&0&0&1\end{array}\right)\\
\hspace{16pt}\to\left(\begin{array}{ccc|ccc}i&0&-i&1&0&-1\\0&i&i&0&1&1\\1&2&1+i&0&0&1\end{array}\right)\quad \begin{array}{l}[\,\mathrm{r}_3\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{r}_1\,] \\ [\,\mathrm{r}_3\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{r}_1\,] \end{array}\\
\hspace{16pt}\to\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&-i&0&i\\0&1&1&0&-i&-i\\1&2&1+i&0&0&1\end{array}\right)\quad \begin{array}{l}[\,\mathrm{r}_1\times (-i)\,] \\ [\,\mathrm{r}_2\times (-i)\,] \end{array}\\
\hspace{16pt}\to\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&-i&0&i\\0&1&1&0&-i&-i\\0&0&i&i&2i&1+i\end{array}\right)\quad \begin{array}{l}[\,\mathrm{r}_1\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{r}_3\,] \\ [\,\mathrm{r}_2\stackrel{\times (-2)}{\to}\mathrm{r}_3\,] \end{array}\\
\hspace{16pt}\to\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&-i&0&i\\0&1&1&0&-i&-i\\0&0&1&1&2&1-i\end{array}\right)\quad \begin{array}{l}[\,\mathrm{r}_3\times (-i)\,] \end{array}\\
\hspace{16pt}\to\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1-i&2&1\\0&1&0&-1&-2-i&-1\\0&0&1&1&2&1-i\end{array}\right)\quad \begin{array}{l}[\,\mathrm{r}_3\stackrel{\times 1}{\to}\mathrm{r}_1\,] \\ [\,\mathrm{r}_3\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{r}_2\,] \end{array}$
という計算になる．$\overline{B}$ の逆行列は
$\overline{B}\,{}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1+i&2&1\\-1&-2+i&-1\\1&2&1+i\end{array}\right)$
となる．
$\mathbf{C}^n$ におけるドット積とEuclidノルム 複素数ベクトルの演算において特に注意を要するのは内積(ドット積)の計算である．$\mathbf{C}^n$ におけるドット積は
$\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}w_1\\w_2\\\vdots\\w_n\end{array}\right)=z_1\overline{w_1}+z_2\overline{w_2}+\cdots+z_n\overline{w_n}$
により定義される．
このドット積が内積としての一般的な性質(
第13講)
(i) $\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\ge 0$
(ii) $\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}= 0\Leftrightarrow \mathbf{v}=\mathbf{0}$
(iii) ($k\mathbf{v}+l\mathbf{v}')\cdot\mathbf{w}= k(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})+ l(\mathbf{v}'\cdot\mathbf{w})$
(iv) $\mathbf{w}\cdot\mathbf{v}= \overline{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}$
を満たしているは容易に確かめられる．特に注意したいのは条件(iv)で，一般には
$\mathbf{w}\cdot\mathbf{v}\neq\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}$
であり，(iii) と合わせると
$(k\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}=k(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})$
$\mathbf{v}\cdot(k\mathbf{w})=\overline{(k\mathbf{w})\cdot\mathbf{v}}=\overline{k}\,\overline{\mathbf{w}\cdot\mathbf{v}}=\overline{k}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})$
となる．
このドット積に対応するノルム(Euclidノルム)は
$\left\|\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{array}\right)\right\|=\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2+\cdots+|z_n|^2}$
により定義される．$z\overline{z}=|z|^2\ (z\in\mathbf{C})$ に注意せよ．
このEuclidノルムも，もちろんノルムとしての一般的な性質(
第13講)
(i) $\|\mathbf{v}\|\ge 0$
(ii) $\|\mathbf{v}\|= 0\Leftrightarrow \mathbf{v}=\mathbf{0}$
(iii) $\|k\mathbf{v}\|= |k|\|\mathbf{v}\|$
(iv) $\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\|\le \|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{w}\|$
を満たしている．ドット積との関係
$\|z\|=\sqrt{\mathbf{z}\cdot\mathbf{z}}$
に注意しよう．このように，内積が与えられるとそれに対応したノルムが自然に定義されるのである．
| $\mathrm{(1)}$ |
$\mathbf{z}=\left(\begin{array}{c}1+i\\2\end{array}\right)$，
$\mathbf{w}=\left(\begin{array}{c}3i\\1-i\end{array}\right)$ とするとき
$\mathbf{z}\cdot\mathbf{w}$，
$\mathbf{w}\cdot\mathbf{z}$，$\|\mathbf{z}\|$，$\|\mathbf{w}\|$
を計算せよ．
|
| $\mathrm{(2)}$ |
$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right)$ と直交するものはどれか．
$\mathbf{b}_1=\left(\begin{array}{c}i\\-1\end{array}\right)$，
$\mathbf{b}_2=\left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right)$，
$\mathbf{b}_3=\left(\begin{array}{c}i\\1\end{array}\right)$
|
| $\mathrm{(1)}$ |
$\mathbf{z}\cdot\mathbf{w}=\left(\begin{array}{c}1+i\\2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}3i\\1-i\end{array}\right)\\
\hspace{20pt}=(1+i)(-3i)+2(1+i)=5-i$
$\mathbf{w}\cdot\mathbf{z}=\left(\begin{array}{c}3i\\1-i\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1+i\\2\end{array}\right)\\
\hspace{21pt}=3i(1-i)+(1-i)2=5+i$
$\|\mathbf{z}\|=\left\|\left(\begin{array}{c}1+i\\2\end{array}\right)\right\|\\
\hspace{16pt}=\sqrt{|1+i|^2+2^2}=\sqrt{6}$
$\|\mathbf{w}\|=\left\|\left(\begin{array}{c}3i\\1-i\end{array}\right)\right\|\\
\hspace{17pt}=\sqrt{|3i|^2+|1-i|^2}=\sqrt{11}$
|
| $\mathrm{(2)}$ |
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}_1=\left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}i\\-1\end{array}\right)\\
\hspace{25pt}=1\cdot (-i)+i\cdot(-1)=-2i$
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}_2=\left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right)\\
\hspace{25pt}=1\cdot 1+i\cdot(-i)=2$
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}_3=\left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}i\\1\end{array}\right)\\
\hspace{25pt}=1\cdot (-i)+i\cdot1=0$
より $\mathbf{a}$ と直交するのは $\mathbf{b}_3$．
|
$\mathbf{C}^n$ の部分空間 $W$ が与えられたとき，上記のドット積に関する正規直交基底，直交補空間 $W^\bot$ などもこれまで通り定義されるが，このような「直交性」は内積に依存するのであるから，ドット積が絡む計算の中で
複素共役をとる操作をくれぐれも忘れないようにしよう．
特に，$W$ の正規直交基底を $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_m\}$ とするとき，$\mathbf{C}^n$ から $W$ への直交射影を表す行列 $P_W$ は
$P_W=\mathbf{u}_1\,{}^t\overline{\mathbf{u}_1}+\mathbf{u}_2\,{}^t\overline{\mathbf{u}_2}+\cdots+\mathbf{u}_m\,{}^t\overline{\mathbf{u}_m}$
により与えられる
詳しく！
$P_W$ は $\mathbf{v}\in\mathbf{C}^n$ を
$P_W\mathbf{v}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_1)\mathbf{u}_1+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_2)\mathbf{u}_2+\cdot+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_m)\mathbf{u}_m$
と変換する行列である(
第18講参照)．そこで，$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{array}\right)$， $\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{array}\right)$ とすると
$\mathbf{u}{}^t\overline{\mathbf{u}}\mathbf{v}
=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\overline{u_1}&\overline{u_2}&\cdots&\overline{u_n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{array}\right)\\
\hspace{22pt}=\left(\begin{array}{c}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\overline{u_1}v_1+\overline{u_2}v_2+\cdots+\overline{u_n}v_n\end{array}\right)\\
\hspace{22pt}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u})\mathbf{u}$
が成り立つ
これを $(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u}$ と書いてはいけない．一般には
$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\overline{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}$
であって両者は等しくない．
ことから
$P_W\mathbf{v}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_1)\mathbf{u}_1+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_2)\mathbf{u}_2+\cdots+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_m)\mathbf{u}_m\\
\hspace{20pt}=\mathbf{u}_1{}^t\overline{\mathbf{u}_1}\mathbf{v}+\mathbf{u}_2{}^t\overline{\mathbf{u}_2}\mathbf{v}+\cdots+\mathbf{u}_m{}^t\overline{\mathbf{u}_m}\mathbf{v}\\
\hspace{20pt}=(\mathbf{u}_1{}^t\overline{\mathbf{u}_1}+\mathbf{u}_2{}^t\overline{\mathbf{u}_2}+\cdots+\mathbf{u}_m{}^t\overline{\mathbf{u}_m})\mathbf{v}$
となり，これより
$P_W=\mathbf{u}_1{}^t\overline{\mathbf{u}_1}+\mathbf{u}_2{}^t\overline{\mathbf{u}_2}+\cdots+\mathbf{u}_m{}^t\overline{\mathbf{u}_m}$
とわかる．
$\mathbf{C}^3$ (内積はドット積)の部分空間
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\z_3\end{array}\right)\,\right|\,z_1-iz_2+2iz_3=0\,\right\}$
について，$z_1-iz_2+2iz_3=0$ で $z_2=s$，$z_3=t$ とおいて
$\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\z_3\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}i\\1\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-2i\\0\\1\end{array}\right)\quad(s,t\in\mathbf{C})$
より基底として $\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\}=\left\{\left(\begin{array}{c}i\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2i\\0\\1\end{array}\right)\right\}$ がとれる．これをSchmidtの方法で正規直交化する．まず $\|\mathbf{a}_1\|=\sqrt{|i|^2+|1|^2+|0|^2}=\sqrt{2}$ だから
$\mathbf{u}_1=\dfrac{1}{\|\mathbf{a}_1\|}\mathbf{a}_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}i\\1\\0\end{array}\right)$
とおく．さらに $\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{u}_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(-2i\cdot(-i)+0\cdot1+1\cdot0)=-\sqrt{2}$ だから
$\mathbf{b}_2=\mathbf{a}_2-(\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{u}_1)\mathbf{u}_1\\
\hspace{11pt}=\left(\begin{array}{c}-2i\\0\\1\end{array}\right)-(-\sqrt{2})\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}i\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-i\\1\\1\end{array}\right)$
くどいようだが，ここでも
$\mathbf{b}_2=\mathbf{a}_2-(\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{a}_2)\mathbf{u}_1$
と書いてはいけない．今は $\mathbf{b}_2$ として $\mathbf{u}_1$ と垂直なベクトルをつくろうとしているのであり，このようにしてしまうと
$\mathbf{b}_2\cdot\mathbf{u}_1=\{\mathbf{a}_2-(\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{a}_2)\mathbf{u}_1\}\cdot\mathbf{u}_1\\
\hspace{30pt}=\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{u}_1-(\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{a}_2)(\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1)\\
\hspace{30pt}=\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{u}_1-\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{a}_2$
となり，一般には $\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{u}_1\neq\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{a}_2$ だからである(今はたまたま実数なので助かるが) ，
$\mathbf{u}_2=\dfrac{1}{\|\mathbf{b}_2\|}\mathbf{b}_2=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}-i\\1\\1\end{array}\right)$
よって正規直交基底として $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\}=\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}i\\1\\0\end{array}\right),\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}-i\\1\\1\end{array}\right)\right\}$ が得られる．これより，$\mathbf{C}^3$ から $W$ への直交射影を表す行列は
$P_W=\mathbf{u}_1\overline{{}^t\mathbf{u}_1}+\mathbf{u}_2\overline{{}^t\mathbf{u}_2}\\
\hspace{17pt}=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c}i\\1\\0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-i&1&0\end{array}\right)+\dfrac{1}{3}\left(\begin{array}{c}-i\\1\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}i&1&1\end{array}\right)\\
\hspace{17pt}=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1&i&0\\-i&1&0\\0&0&0\end{array}\right)+\dfrac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1&-i&-i\\i&1&1\\i&1&1\end{array}\right)\\
\hspace{17pt}=\dfrac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}5&i&-2i\\-i&5&2\\2i&2&2\end{array}\right)$
となる．さらに
$W=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\z_3\end{array}\right)\,\right|\,\overline{1}z_1+\overline{i}z_2+\overline{(-2i)}z_3=0\,\right\}\\
\hspace{10pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\z_3\end{array}\right)\,\right|\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\z_3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\i\\-2i\end{array}\right)=0\,\right\}$
と表わせるから，$W$ の直交補空間は
$W^\bot=\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\i\\-2i\end{array}\right)\right\rangle\\
\hspace{18pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\z_3\end{array}\right)\,\right|\,\dfrac{z_1}{1}=\dfrac{z_2}{i}=\dfrac{z_3}{-2i}\,\right\}\\
\hspace{18pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\\z_3\end{array}\right)\,\right|\,z_1=-iz_2=\dfrac{i}{2}z_3\,\right\}$
となり，正規直交基底は $\left\{\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\i\\-2i\end{array}\right)\right\}$，$\mathbf{C}^3$ から $W^\bot$ への直交射影を表す行列は
$P_{W^\bot}=\dfrac{1}{6}\left(\begin{array}{c}1\\i\\-2i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&-i&2i\end{array}\right)\\
\hspace{17pt}=\dfrac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}1&-i&2i\\i&1&-2\\-2i&-2&4\end{array}\right)$
となる．これは $P_W+P_{W^\bot}=E$ の関係から求めてもよい．