線型写像の像と核

第16講　線型写像の像と核

線型写像線型写像についてはこれまでにも触れてきた(第3講,第11講)が，その定義を改めて確認しておく．$V$，$V'$ をともに $K(=\mathbf{R}\ \mathrm{or}\ \mathbf{C})$ をスカラーとするベクトル空間とするとき，写像 $f:V\to V'$ が線型写像であるとは

$\mathrm{(i)}\ f(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=f(\mathbf{v}_1)+f(\mathbf{v}_2)\qquad(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V)\\[2mm] \mathrm{(ii)}\ f(k\mathbf{v})=kf(\mathbf{v})\qquad(\mathbf{v}\in V,\ k \in K)$

が成り立つことをいう．

次のことが特に重要である：

線型写像は基底の行き先により一意に定まる詳しく！
　$f:V\to V'$ を線型写像とし，$\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\}$ を $V$ の基底とする．このとき，任意の $\mathbf{v}\in V$ は適当なスカラー $t_1,t_2,\ldots,t_n$ により
$\mathbf{v}=t_1\mathbf{v}_1+t_2\mathbf{v}_2+\cdots+t_n\mathbf{v}_n$
と表わされるが，$f$ の線型性により
$f(\mathbf{v})=f(t_1\mathbf{v}_1+t_2\mathbf{v}_2+\cdots+t_n\mathbf{v}_n)\\ \hspace{20pt}=t_1f(\mathbf{v}_1)+t_2f(\mathbf{v}_2)+\cdots+t_nf(\mathbf{v}_n)$
となる．従って，$f(\mathbf{v})$ は「基底の行き先」
$f(\mathbf{v}_1),\ f(\mathbf{v}_2),\ \ldots,\ f(\mathbf{v}_n)$
によって決まってしまうということである．
さらに詳しく！
ここで，基底による
$\mathbf{v}=t_1\mathbf{v}_1+t_2\mathbf{v}_2+\cdots+t_n\mathbf{v}_n$
という表し方が一意であることにも注意しておこう．実際
$\mathbf{v}=s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2+\cdots+s_n\mathbf{v}_n$
とも表せたとすると
$t_1\mathbf{v}_1+t_2\mathbf{v}_2+\cdots+t_n\mathbf{v}_n\\ \hspace{20pt}=s_1\mathbf{v}_1+s_2\mathbf{v}_2+\cdots+s_n\mathbf{v}_n$
から
$(t_1-s_1)\mathbf{v}_1+(t_2-s_2)\mathbf{v}_2+\cdots+(t_m-s_m)\mathbf{v}_n =\mathbf{0}$
となるから，基底の一次独立性により
$t_1-s_1=t_2-s_2=\cdots t_n-s_n=0$
すなわち
$t_1=s_1,\ t_2=s_2,\ \ldots,\ t_n=s_n$
とわかる．
$\mathbf{R}^n$ から $\mathbf{R}^m$ への線型写像は $m\times n$ ($m$ 行 $n$ 列)行列により表される詳しく！
　行列の役割はベクトルを他のベクトルに変換する線型写像を定めることである．すなわち，$m\times n$ 行列 $A$ は
$f_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\qquad(\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n)$
により線型写像 $f_A:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m$ を定める．このことはこれまでにも述べてきたことであるが，逆に，$\mathbf{R}^n$ から $\mathbf{R}^m$ への線型写像は必ず $m\times n$ 行列によって上記のように表されることもここで確認しておく．
　例として $n=3$，$m=2$ の場合を見ておけば十分であろう． $f:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^2$ を線型写像とし，$\mathbf{R}^3$ の基底として標準基底
$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}=\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\,\right\}$
をとる．$f(\mathbf{e}_1),f(\mathbf{e}_2),f(\mathbf{e}_3)\in\mathbf{R}^2$ であるから
$f(\mathbf{e}_1)=\left(\begin{array}{c}a_{11}\\a_{21}\end{array}\right)$， $f(\mathbf{e}_2)=\left(\begin{array}{c}a_{12}\\a_{22}\end{array}\right)$， $f(\mathbf{e}_3)=\left(\begin{array}{c}a_{13}\\a_{23}\end{array}\right)$
とおく．$\mathbf{R}^3$ の任意のベクトル $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)$ は標準基底では $\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+x_3\mathbf{e}_3$ と表わされるから
$f(\mathbf{x})=f(x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+x_3\mathbf{e}_3)\\ \hspace{20pt}=x_1f(\mathbf{e}_1)+x_2f(\mathbf{e}_2)+x_3f(\mathbf{e}_3)\\ \hspace{20pt}=x_1\left(\begin{array}{c}a_{11}\\a_{21}\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}a_{12}\\a_{22}\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{c}a_{13}\\a_{23}\end{array}\right)\\ \hspace{20pt}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right) $
従って，$A=\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right)$ とおけば $f$ はこの $2\times 3$ 行列 $A$ によって
$f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\quad(\mathbf{x}\in\mathbf{R}^3)$
と表わされることがわかった．ここにおいても，行列 $A$ が基底 $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}$ の「行き先」$f(\mathbf{e}_1),f(\mathbf{e}_2),f(\mathbf{e}_3)$ により決定されていることに注目しよう．

写像 $f$ によって $\mathbf{v}$ が $\mathbf{v}'$ に移される(すなわち$f(\mathbf{v})=\mathbf{v}'$ となる)ことを　$f:\mathbf{v}\mapsto \mathbf{v}'$ のように表わすことにする．

$f_A: \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c}0\\2\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)$
を満たす線型写像 $f_A$ を定める行列 $A$ を求めよう． $\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\2\end{array}\right)\,\right\}$ は $\mathbf{R}^2$ の基底であるから，$f_A$ は $\mathbf{R}^2$ から $\mathbf{R}^3$ への線型写像として一意に定まるはずである．その $f_A$ を定める行列 $A$ は
$A\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right),\quad A\left(\begin{array}{c}0\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)$
を満たすような行列であるから，この二式を一つにまとめて
$A\left(\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\3&2\end{array}\right)$
さらに $\left(\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right)^{-1}=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2&0\\-1&1\end{array}\right)$ を両辺に右から掛けることにより
$A =\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\3&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right)\\ \hspace{8pt}=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\3&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2&0\\-1&1\end{array}\right)\\ \hspace{8pt}=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2&0\\-1&1\\4&2\end{array}\right) $
が得られる．
$f_B: \left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c}0\\3\\2\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}0\\2\end{array}\right)$
を満たす線型写像 $f_B$ を定める行列 $B$ を求めよう．
$B\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\ B\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right),\ B\left(\begin{array}{c}0\\3\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\2\end{array}\right) $
を一つにまとめて
$B\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&3\\1&1&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&1&2\end{array}\right)$
より
$B =\left(\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&3\\1&1&2\end{array}\right)^{-1}\\ \hspace{8pt}=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}-1&-2&3\\3&2&-3\\-1&0&1\end{array}\right)\\ \hspace{8pt}=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}5&2&-3\\1&2&-1\end{array}\right) $
が得られる．$3$ 次の逆行列の計算法を思い出しておこう(第8講,第12講)．

これら二つの例において
$\left(\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right)^{-1}$ および $\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&3\\1&1&2\end{array}\right)^{-1}$
がそれぞれ確かに存在することにも注意しておく．一般に，$\{\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\}$ が $\mathbf{R}^n$ の基底であるとき，これらのベクトルを並べて得られる行列 $(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \ldots\ \mathbf{a}_n\,)$ は正則行列である(第9講)．
極端な例として $\mathbf{R}$ から $\mathbf{R}$ への線型写像がどのようなものであるかも見ておこう． $\mathbf{R}$ は $1$ 次元の数ベクトル空間とみなせるので，その基底は一つのベクトル(実数)からなる．例えば $\{\,1\,\}$ は $\mathbf{R}$ の基底である(一次元ベクトルは通常括弧を用いずに表記する)．従って，$\mathbf{R}$ から $\mathbf{R}$ への線型写像 $f$ はこの $1$ の行き先 $f(1)$ によって決まるはずである．例えば
$f(1)=3$
であったとしよう．このとき，任意の $x\in\mathbf{R}$ はもちろん $x=x\cdot 1$ と表わされるので，$f$ の線型性により
$f(x)=f(x\cdot1)=xf(1)=3x$
となる．このように，$\mathbf{R}$ から $\mathbf{R}$ への線型写像はある実数 $a$ によって
$f(x)=ax\quad (x\in\mathbf{R})$
と表わされる写像，すなわち比例を表す関数に限られるのである(この $a$ を「$1\times 1$ 行列」と見れば一般の場合と確かに整合している)．

従って $1$ 次元空間上の線型写像はつまらないものしかない，という言い方もできるのだが，反面，このつまらない状況に「線型である(linear)」ということの特徴が非常によく表れているのだとも言える．比例を表す関数 $y=ax$ は，グラフに表すと原点を通る直線(line)となるのであった．

練習1

線型写像の像と核 $f:V\to V'$ を線型写像とする．第11講で線型写像の像について述べたが，今回は核と合わせて定義を確認しておく．$f$ の像(image)は

$\mathrm{Im}f\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,f(\mathbf{x})\,|\,\mathbf{x}\in V\,\}$

により，$f$ の核(kernel)は

$\mathrm{Ker}f\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\,\mathbf{x}\in V\,|\,f(\mathbf{x})=\mathbf{0}\,\}$

によりそれぞれ定義される．すなわち，$\mathrm{Im}f$ とは，$V$ から $f$ によって移されてくる $V'$ のベクトルからなる集合，$\mathrm{Ker}f$ とは， $f$ によって零ベクトルに移される $V$ のベクトルからなる集合である．

　像 $\mathrm{Im}f$ の次元を $f$ の階数といい，$\mathrm{rank}f$ とあらわす：

$\mathrm{rank}f\stackrel{\mathrm{def}}{=}\dim\mathrm{Im}f$

次元については

$\mathrm{rank}f+\dim\mathrm{Ker}f=\dim{V}$

という関係が成り立つ詳しく！．
　前節で見たように，$\mathbf{R}^n$ から $\mathbf{R}^m$ への線型写像は $m\times n$ 行列 $A$ により

$f_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\quad(\mathbf{x}\in A)$

と表わせるから，その場合はそれぞれ

$\mathrm{Im}f_A=\{\,A\mathbf{x}\,|\,\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n\,\}$

$\mathrm{Ker}f_A=\{\,\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n\,|\,A\mathbf{x}=\mathbf{0}\,\}$

となる．$f_A$ の階数は行列 $A$ の階数とも呼ばれ，$\mathrm{rank}A$ とも書くのであった．さらに，$A=(\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n)$ ならば

$\mathrm{Im}f_A=\langle \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle$

である(第11講)から，これらの部分空間の基底を求める方法は前講までに見てきた通りである．

練習2

第16講 線型写像の像と核

第16講　線型写像の像と核