解の存在条件
実 $m\times n$ 行列 $A=(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n\,)$ とベクトル $\mathbf{b}\in\mathbf{R}^n$ により
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
と表わされる連立一次方程式を考える．
一般に，連立一次方程式は解をもたないこともあるから，どのようなときに解をもつか，その条件をここで整理しておく．これまで通り，行列 $A$ が定める線型写像を $f_A$ と書く：
$f_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\quad(\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n)$
次の $\mathrm{(i)}$～$\mathrm{(v)}$ はすべて同値である：
$\mathrm{(i)}$ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ が解をもつ．
$\mathrm{(ii)}$ $\mathbf{b}\in\mathrm{Im}f_A$
$\mathrm{(iii)}$ $\mathbf{b}\in\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle$
$\mathrm{(iv)}$ $\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n,\mathbf{b}\,\rangle
=\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle$
$\mathrm{(v)}$ $\mathrm{rank}(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n\ \mathbf{b})=
\mathrm{rank}(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n)$
いずれもこれまでに見てきた具体的な計算を踏まえればほぼ明らかであろうが，念のために記号の意味等を思い出しながら確認しておこう．
-
$\mathrm{(i)}\ \Leftrightarrow\ \mathrm{(ii)}$
$f_A$ の像 $\mathrm{Im}f_A$ とは
$\mathrm{Im}f_A
=\{\,f_A(\mathbf{x})\,|\,\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n\,\}
=\{\,A\mathbf{x}\,|\,\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n\,\}$
により定義されるのであった．
従って
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ となる $\mathbf{x}$ が存在する $\Leftrightarrow \mathbf{b}\in\mathrm{Im}f_A$
であることは定義より明らかである．
-
$\mathrm{(ii)}\ \Leftrightarrow\ \mathrm{(iii)}$
$A=(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n\,)$ のとき
$\mathrm{Im}f_A
=\{\,A\mathbf{x}\,|\,\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n\,\}\\
\hspace{20pt}=\left\{\left.\,(\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n\,)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\,\right|\,\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\in\mathbf{R}^n\,\right\}\\
\hspace{20pt}=\{\,x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n\,|\,x_1,x_2,\ldots,x_n\in\mathbf{R}\,\}\\
\hspace{20pt}=\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle$
と表わされるから，これも明らかである．
-
$\mathrm{(iii)}\ \Leftrightarrow\ \mathrm{(iv)}$
$\mathbf{b}\in\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n,\mathbf{b}\,\rangle$ であることに注意すると，
$\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n,\mathbf{b}\,\rangle
=\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle$
ならば
$\mathbf{b}\in\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle$ とわかる．
逆に，
$\mathbf{b}\in\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle$
ならば
$\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n,\mathbf{b}
\in\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle$
から
$\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n,\mathbf{b}\,\rangle
\subset\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle$
注
一般に，$W$ があるベクトル空間の部分空間であるとき
$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_m\in W\ \Rightarrow\
\langle\,\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_m\,\rangle\subset W$
が成り立つ．実際，スカラーを $K$ とするとき，$W$ が部分空間であるとは
$\mathbf{v},\mathbf{w}\in W,\ k,l\in K\ \Rightarrow\ k\mathbf{v}+l\mathbf{w}\in W$
が成り立つことをいうのだから，もし
$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_m\in W$ ならば $W$ は $k_1\mathbf{v}_1+k_2\mathbf{v}_2+\ldots+k_m\mathbf{v}_m$ $(k_1,k_2,\ldots,k_m\in K)$ の形のベクトルをすべて含む．
$\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n,\mathbf{b}\,\rangle
=\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle$
となる．
-
$\mathrm{(iv)}\ \Leftrightarrow\ \mathrm{(v)}$
行列 $A$ の階数とは，$f_A$ の像 $\mathrm{Im}f_A$ の次元のことをいうのであった：
$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}f_A=\dim\mathrm{Im}f_A$
$A=(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n\,)$ であれば
$\mathrm{rank}(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \ldots\ \mathbf{a}_n\,)=\dim\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle$
である．従って次が成り立つ
$\cdot\ \langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n,\mathbf{b}\,\rangle
=\langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle\\
\qquad\Rightarrow\mathrm{rank}(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n\ \mathbf{b})=
\mathrm{rank}(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n)$
$\cdot\ \langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n,\mathbf{b}\,\rangle
\supsetneq \langle\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\rangle\\
\qquad\Rightarrow\mathrm{rank}(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n\ \mathbf{b}) > \mathrm{rank}(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n)$
条件 $\mathrm{(i)}$ と $\mathrm{(iii)}$ が同値であるということは
連立一次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ は解をもつか？
という問いは
$\mathbf{b}$ は $A$ の列ベクトルの線型結合で表せるか？
と言い換えられるということである．
簡単な例として
$\left(\begin{array}{cc}3&1\\-1&2\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}9\\4\end{array}\right)
$
を考えてみよう．この場合は係数行列が正則であるから当然解をもち，その解は $x_1=2,x_2=3$ と簡単に求まる．このことは，ベクトル $\left(\begin{array}{c}9\\4\end{array}\right)$ が
$\left(\begin{array}{c}9\\4\end{array}\right)
=2\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)
+3\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)
$
と，係数行列の列ベクトル $\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)$ と $
\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$ の線型結合で表されたことを意味する．
あるいは，
$\left(\begin{array}{cc}3&-6\\-1&2\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}9\\4\end{array}\right)
$
の場合は解をもたないこともすぐにわかるが，それは
$\left(\begin{array}{c}9\\4\end{array}\right)
=x_1\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)
+x_2\left(\begin{array}{c}-6\\2\end{array}\right)
$
となる $x_1,x_2\in\mathbf{R}$ は存在しない，すなわち $\left(\begin{array}{c}9\\4\end{array}\right)$ は $\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)$ と $
\left(\begin{array}{c}-6\\2\end{array}\right)$ の線型結合では決して表せないことを意味する．
念のために
$\left\langle\,\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)\,\right\rangle=\mathbf{R}^2
$
であるからこれはもちろん $\left(\begin{array}{c}9\\4\end{array}\right)$ を含み，一方
$\left\langle\,\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-6\\2\end{array}\right)\,\right\rangle
=
\left\langle\,\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)\,\right\rangle
$
は $\left(\begin{array}{c}9\\4\end{array}\right)$ を含まないことを確認されたい．
連立一次方程式
$\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\1&2&1\\1&3&4\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right)$
および
$\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\1&2&1\\1&3&4\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}2\\1\\3\end{array}\right)$
が解をもつかどうか調べよう．それぞれ解いてみればいい話だが，ここではまず
条件 $\mathrm{(ii)}$ あるいは $\mathrm{(iii)}$ を満たしているかどうかを調べる．
$A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\1&2&1\\1&3&4\end{array}\right)$ とおくと
$\mathrm{Im}f_A
=\left\langle\,
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}-2\\1\\4\end{array}\right)
\,\right\rangle\\
\hspace{21pt}=\left\langle\,
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\3\\6\end{array}\right)
\,\right\rangle\ \begin{array}{l}[\,\mathrm{c}_1\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{c}_2\,]\\
[\,\mathrm{c}_1\stackrel{\times 2}{\to}\mathrm{c}_3\,]\end{array}\\
\hspace{21pt}=\left\langle\,
\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)
\,\right\rangle\\
\hspace{21pt}=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x-2y+z=0\,\right\}$
と表わせるので
$\left(\begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right)\in\mathrm{Im}f_A$
より一つ目の連立一次方程式は解をもち
$\left(\begin{array}{c}2\\1\\3\end{array}\right)\notin\mathrm{Im}f_A$
より二つ目の連立一次方程式は解をもたないことがわかる．
条件 $\mathrm{(v)}$ を確認するために，例2で見た連立一次方程式
$\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\1&2&1\\1&3&4\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right)$
を掃き出し法により解いてみよう．
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&3\\1&2&1&2\\1&3&4&1\end{array}\right)\\
\hspace{30pt}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&3\\0&1&3&-1\\0&2&6&-2\end{array}\right)
\ \begin{array}{l}
[\,\mathrm{r}_1\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{r}_2\,]\\
[\,\mathrm{r}_1\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{r}_2\,]
\end{array}\\
\hspace{30pt}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-5&4\\0&1&3&-1\\0&0&0&0\end{array}\right)
\ \begin{array}{l}
[\,\mathrm{r}_2\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{r}_1,]\\
[\,\mathrm{r}_2\stackrel{\times (-2)}{\to}\mathrm{r}_3\,]
\end{array}
$
より，$\left\{\begin{array}{l}x_1-5x_3=4\\x_2+3x_3=-1\end{array}\right.$ で $x_3=t$ とおいて
$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}4\\-1\\0\end{array}\right)
+t\left(\begin{array}{c}5\\-3\\1\end{array}\right)$
と解が求まる．
行列の階数は行基本変形により不変であることを思い出すと，この計算により拡大係数行列と係数行列の階数はともに $2$ であることがわかる：
$\mathrm{rank}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&3\\1&2&1&2\\1&3&4&1\end{array}\right)=2\\
\mathrm{rank}\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\1&2&1\\1&3&4\end{array}\right)=2$
連立一次方程式が解をもつのはこのようなときだというのが条件 $\mathrm{(v)}$ で言っていることである．
また
$\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\1&2&1\\1&3&4\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}2\\1\\3\end{array}\right)$
を同様に解いてみると
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&2\\1&2&1&1\\1&3&4&3\end{array}\right)\\
\hspace{30pt}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&2\\0&1&3&-1\\0&2&6&1\end{array}\right)
\ \begin{array}{l}
[\,\mathrm{r}_1\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{r}_2\,]\\
[\,\mathrm{r}_1\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{r}_2\,]
\end{array}\\
\hspace{30pt}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-5&3\\0&1&3&-1\\0&0&0&3\end{array}\right)
\ \begin{array}{l}
[\,\mathrm{r}_2\stackrel{\times (-1)}{\to}\mathrm{r}_1,]\\
[\,\mathrm{r}_2\stackrel{\times (-2)}{\to}\mathrm{r}_3\,]
\end{array}
$
となり，第3行が $0=3$ となっているのでこの場合は解をもたない．
この計算により拡大係数行列の階数が
$\mathrm{rank}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&2\\1&2&1&1\\1&3&4&3\end{array}\right)=3$
であることがわかったが，係数行列の階数は前と同じく
$\mathrm{rank}\left(\begin{array}{ccc}1&1&-2\\1&2&1\\1&3&4\end{array}\right)=2$
であり，両者は一致していない．
このような方程式は解をもたないのである．
解をもつものを選べ
$\mathrm{(a)}$ $\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&4\\1&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\1\\2\end{array}\right)$
$\mathrm{(b)}$ $\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&4\\1&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\6\\3\end{array}\right)$
$\mathrm{(c)}$ $\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&4\\1&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\-1\\4\end{array}\right)$
$\mathrm{(d)}$ $\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&4\\1&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\-5\\-1\end{array}\right)$
$\left\langle\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\4\\3\end{array}\right)\right\rangle
=\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x+y-2z=0\,\right\}$
と表わしておくとよい．
$\mathrm{(a)}$
$\left(\begin{array}{c}3\\1\\2\end{array}\right)
\in\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x+y-2z=0\,\right\}$
$\mathrm{(b)}$
$\left(\begin{array}{c}6\\1\\3\end{array}\right)
\notin\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x+y-2z=0\,\right\}$
$\mathrm{(c)}$
$\left(\begin{array}{c}9\\-1\\4\end{array}\right)
\in\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x+y-2z=0\,\right\}$
$\mathrm{(d)}$
$\left(\begin{array}{c}3\\-5\\-1\end{array}\right)
\in\left\{\left.\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|\,x+y-2z=0\,\right\}$
より，解をもつものは $\mathrm{(a)}$，$\mathrm{(c)}$，$\mathrm{(d)}$．
解はそれぞれ
$\mathrm{(a)}$ $\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\-1\end{array}\right)$
$\mathrm{(c)}$ $\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}19\\-5\end{array}\right)$
$\mathrm{(d)}$ $\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}11\\-4\end{array}\right)$
解の自由度
前節に引き続き，$A$ を実 $m\times n$ 行列，$f_A$ を$A$ が定める線型写像とする．連立一次方程式
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
が解をもつとして，その解の一つを $\mathbf{p}$ としよう．$A\mathbf{p}=\mathbf{b}$ である．このとき，$f_A$ の核 $\mathrm{Ker}f_A$
の基底 $\{\,\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\ldots,\mathbf{c}_k\,\}$ をとると，この連立一次方程式のすべての解は
$\mathbf{p}+t_1\mathbf{c}_1+t_2\mathbf{c}_2+\cdots+t_k\mathbf{c}_k$ $(t_1,t_2,\ldots,t_k\in\mathbf{R})$
という形で表わされる
詳しく！．
$f_A$ の核 $\mathrm{Ker}f_A$ は
$\mathrm{Ker}f_A=\{\,\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n\,|\,A\mathbf{x}=\mathbf{0}\,\}$
により定義されるのであった．
そこで，$\mathbf{q}$ を任意の解とすると，$A\mathbf{q}=\mathbf{b}$ より
$A(\mathbf{q}-\mathbf{p})=A\mathbf{q}-A\mathbf{p}=\mathbf{b}-\mathbf{b}=\mathbf{0}$
であるから $\mathbf{q}-\mathbf{p}\in\mathrm{Ker}f_A$．
従って，$\{\,\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\ldots,\mathbf{c}_k\,\}$ が $\mathrm{Ker}f_A$ の基底であることより，適当な $t_1,t_2,\ldots,t_k\in\mathbf{R}$ によって
$\mathbf{q}-\mathbf{p}=t_1\mathbf{c}_1+t_2\mathbf{c}_2+\cdots+t_k\mathbf{c}_k$，
すなわち
$\mathbf{q}=\mathbf{p}+t_1\mathbf{c}_1+t_2\mathbf{c}_2+\cdots+t_k\mathbf{c}_k$，
と表わせる．
このように表された解を
一般解と呼び，$t_1,t_2,\ldots,t_k$ を
自由変数，その個数 $k$ を
解の自由度と呼ぶ．
(解の自由度) $=\dim\mathrm{Ker}f_A$
であることに注意しよう．
また，線型写像の一般的な性質として
$\mathrm{rank}f_A+\dim\mathrm{Ker}f_A=\dim\mathbf{R}^n(=n)$
が成り立つ(
第16講)ので，解が存在するとき
(係数行列の階数) $+$ (解の自由度) $=$ (未知数の数)
という関係が確かに成り立つことになる(
第12講)．
連立一次方程式
$\left(\begin{array}{cccc}1&1&-3&-2\\1&2&-5&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\0\end{array}\right)$
の一般解を正しく表しているものを次から選べ．ただし $s,t\in\mathbf{R}$ は自由変数である．
$\mathrm{(a)}$ $\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\1\\0\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\\0\end{array}\right)$
$\mathrm{(b)}$ $\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\5\\2\\0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}3\\-1\\0\\1\end{array}\right)$
$\mathrm{(c)}$ $\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}4\\1\\1\\1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}7\\0\\1\\2\end{array}\right)$
$\mathrm{(d)}$ $\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\\1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}0\\-7\\-3\\1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}5\\3\\2\\1\end{array}\right)$
一般解は $\mathrm{(b)}$ と $\mathrm{(c)}$.
未知数の数は $4$ で $\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccc}1&1&-3&-2\\1&2&-5&-1\end{array}\right)=2$ であるから，解の自由度は $4-2=2$ である．
| $\mathrm{(a)}$ |
解であるが一般解ではない．．
|
| $\mathrm{(b)}$ |
次が成り立つことを確認せよ：
$\left(\begin{array}{cccc}1&1&-3&-2\\1&2&-5&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\5\\2\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\0\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cccc}1&1&-3&-2\\1&2&-5&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cccc}1&1&-3&-2\\1&2&-5&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\-1\\0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$
|
| $\mathrm{(c)}$ |
次が成り立つことを確認せよ：
$\left(\begin{array}{cccc}1&1&-3&-2\\1&2&-5&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\0\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cccc}1&1&-3&-2\\1&2&-5&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cccc}1&1&-3&-2\\1&2&-5&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}7\\0\\1\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$
|
| $\mathrm{(d)}$ |
$\left(\begin{array}{cccc}1&1&-3&-2\\1&2&-5&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\\1\end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{c}-1\\0\end{array}\right)$
なので解ではない．
|
連立一次方程式が
一意解をもつとは，解が存在し，その自由度が $0$ ということである．上記を踏まえれば，次のことを確かめるのは容易であろう．
$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ が解をもつとき，以下はすべて同値である：
$\mathrm{(i)}$ その解は一意解である
$\mathrm{(ii)}\ \dim\mathrm{Ker}f_A=0$ (すなわち $\mathrm{Ker}f_A=\{\,\mathbf{0}\,\}$)
$\mathrm{(iii)}\ \mathrm{rank}A(=\mathrm{rank}f_A)=n$
$\mathrm{(iv)}$ (係数行列の階数) $=$ (未知数の数)
一般に，係数行列の行数が列数より少ないとき は連立一次方程式は一意解を持ち得ない．$A$ が $m\times n$ 行列で $m < n$ ならば $\mathrm{rank}A\le m$ なので
(係数行列の階数) $=$ (未知数の数)
ということが起こらないからである．例えば
$\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&3&5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\0\end{array}\right)$
は係数行列の行数 $ < $ 列数 なので一意解をもたない(係数行列の階数は $2$ で未知数の数は $3$ である)．実際解いてみると
$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\1&3&5&0\end{array}\right)
\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\0&2&4&-2\end{array}\right)\\
\hspace{77pt}\to\ \cdots\\
\hspace{77pt}\to \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&3\\0&1&2&-1\end{array}\right)$
より $z=t$ とおいて
$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}3\\-1\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)$
と，自由度 $1$ の解となる．
この場合は $3$ 個の未知数に対して二つの式しかないので，$x_1,x_2,x_3$ が一意に決まらないのは当然と言えば当然だが，係数行列が $2$ 行しかないためにその階数は決して $2$ を超えないということに注目しよう．
また，解をもたないという可能性も見落としてはいけない．つまらない例だが
$\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\0\end{array}\right)$
は一意解をもたないのはもちろん，そもそも解をもたない．
(補)小行列式と階数
行列の階数を調べるには列(行)基本変形を行うのが基本である(
第11講)が，場合によっては
小行列式 何？ を計算してみることも有効である．
行列のいくつかの行と列を取り除いて得られる $k$ 次の正方行列の行列式を $k$ 次の
小行列式という．例えば
$A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\5&6&7&8\end{array}\right)$
とすると，$A$ の $2$ 次の小行列式は
$\left|\begin{array}{cc}1&2\\5&6\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}1&3\\5&7\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}1&4\\5&8\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}2&3\\6&7\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}2&4\\6&8\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}3&4\\7&8\end{array}\right|$
の6個であり，その値は順に $-4$，$-8$，$-12$，$-4$，$-8$，$-4$ である．
あるいは
$B=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{array}\right)$
とすると，$B$ の $3$ 次の小行列式は
$\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\5&6&7\\9&10&11\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{ccc}1&2&4\\5&6&8\\9&10&12\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{ccc}1&3&4\\5&7&8\\9&11&12\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{ccc}2&3&4\\6&7&8\\10&11&12\end{array}\right|$
の4個であり，その値を計算するとすべて $0$ とわかる(次に述べるように，このような場合は $\mathrm{rank}B < 3$ である)．
また，$B$ の $2$ 次の小行列式は18個ある
書き出すと？．
$\left|\begin{array}{cc}1&2\\5&6\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}1&3\\5&7\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}1&4\\5&8\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}2&3\\6&7\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}2&4\\6&8\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}3&4\\7&8\end{array}\right|$
$\left|\begin{array}{cc}1&2\\9&10\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}1&3\\9&11\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}1&4\\9&12\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}2&3\\10&11\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}2&4\\10&12\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}3&4\\11&12\end{array}\right|$
$\left|\begin{array}{cc}5&6\\9&10\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}5&7\\9&11\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}5&8\\9&12\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}6&7\\10&11\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}6&8\\10&12\end{array}\right|$，
$\left|\begin{array}{cc}7&8\\11&12\end{array}\right|$
このように，すべての小行列式を調べるなどということはとても現実的とは言えないが，場面に応じて利用すると判断が容易になることもある．
すなわち，行列 $A$ の階数についての次の事実を利用するのである
証明pdf(再掲)：
$\mathrm{rank}A\ge k$ であるための必要十分条件は，
$A$ に含まれる $k$ 次の小行列式のなかに0でないものが存在することである．
裏返して言うと
$\mathrm{rank}A < k\ \Leftrightarrow$ $A$ に含まれる $k$ 次の小行列式がすべて $0$
ということになる．
$A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&-1\\1&1&3\\2&2&6\\3&-1&-2\end{array}\right)$ の階数を小行列を利用して調べよう．
まず， $\mathrm{rank}A\ge 2$ であることはすぐにわかる．例えば，第 $3$ 列および第 $3$，$4$ 行を取り除いて得られる $2$ 次の小行列式
$\left|\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right|=1\neq 0$
が直ちに計算できるからである(あるいは，平行でない2本のベクトルは必ず一次独立であることも思い出そう)．
そこで，$3$ 次の小行列式を調べる．
第 $4$ 行を取り除いて
$\left|\begin{array}{ccc}1&0&-1\\1&1&3\\2&2&6\end{array}\right|= 0$
第 $3$ 行を取り除いて
$\left|\begin{array}{ccc}1&0&-1\\1&1&3\\3&-1&-2\end{array}\right|= 5$
第 $2$ 行を取り除いて
$\left|\begin{array}{ccc}1&0&-1\\2&2&6\\3&-1&-2\end{array}\right|= 10$
第 $1$ 行を取り除いて
$\left|\begin{array}{ccc}1&1&3\\2&2&6\\3&-1&-2\end{array}\right|= 0$
となり，0でないものがあるので $\mathrm{rank}A\ge 3$ とわかる．
$A$ は3列しかないので階数が $3$ を超えることはない．従って
$\mathrm{rank}A=3$
と決まる．
とは言っても，毎度毎度このように小行列式をいくつも計算するのは得策でなく，
基本的にはやはり列(行)基本変形により一次独立性を判断するほうがよい．
今の場合は
$\left(\begin{array}{ccc}1&0&-1\\1&1&3\\2&2&6\\3&-1&-2\end{array}\right)
\to\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&4\\2&2&8\\3&-1&1\end{array}\right)\ [\,\mathrm{c}_1\stackrel{\times 1}{\to}\mathrm{c}_3\,]\\
\hspace{71pt}\to\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\2&2&0\\3&-1&5\end{array}\right)\ [\,\mathrm{c}_2\stackrel{\times (-4)}{\to}\mathrm{c}_3\,]$
より階数は $3$ とわかる．
この変形を，上で見た $3$ 次の小行列式の計算と見比べておこう．
例えば，第 $3$ 行を取り除いた場合
$\left|\begin{array}{ccc}1&0&-1\\1&1&3\\3&-1&-2\end{array}\right|
=\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&4\\3&-1&1\end{array}\right|\ [\,\mathrm{c}_1\stackrel{\times 1}{\to}\mathrm{c}_3\,]\\
\hspace{59pt}=\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\3&-1&5\end{array}\right|\ [\,\mathrm{c}_2\stackrel{\times (-4)}{\to}\mathrm{c}_3\,]$
となり，確かにこの値は $5(\neq0)$ である．今
第 $1$ 列を第 $3$ 列に加える
第 $2$ 列を $-4$ 倍して第 $3$ 列に加える
ということを順に行ったわけだが，このような操作により(ベクトルの一次独立性はもちろん)行列式の値は不変であることに注意して上記二つの計算をよく見比べると，小行列式の計算が階数判定に利用できる理由がわかるであろう．
同次連立一次方程式
前々節と同じ設定で，特に右辺がすべて $0$，すなわち
$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$
という形のものを考える．このような連立一次方程式を
同次連立一次方程式という．
同次連立一次方程式は明らかに $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ を解にもつが，この解を
自明解といい，それ以外の解を
非自明解という．
同次連立一次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ に関しては，自明解 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ という解が必ず存在するので，「解は存在するか？」ということは問題にならないが，
一応
$\mathrm{(i)}\ \mathbf{0}\in\mathrm{Im}f_A$
$\mathrm{(ii)}\ \mathbf{0}\in\langle\,\mathrm{a}_1,\mathrm{a}_2,\ldots,\mathrm{a}_n\,\rangle$
$\mathrm{(iii)}\ \langle\,\mathrm{a}_1,\mathrm{a}_2,\ldots,\mathrm{a}_n,\mathbf{0}\,\rangle
=\langle\,\mathrm{a}_1,\mathrm{a}_2,\ldots,\mathrm{a}_n\,\rangle$
$\mathrm{(iv)}\ \mathrm{rank}(\,\mathrm{a}_1\ \mathrm{a}_2\ \cdots\ \mathrm{a}_n\ \mathbf{0}\,)=\mathrm{rank}(\,\mathrm{a}_1\ \mathrm{a}_2\ \cdots\ \mathrm{a}_n\,)
$
の各条件がいずれも必ず成り立つことを確認しておこう．
同次連立一次方程式
$\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$
は，容易にわかるように自明解 $\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$ のみをもつ．
また
$\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&4\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$
の解は自由変数 $t$ を用いて
$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}-2\\1 \end{array}\right)\quad(t\in\mathbf{R})$
と表わされるから，非自明解として例えば $\left( \begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$ などをもつ．
同次連立一次方程式が一意解をもつというのは，すなわち自明解のみをもつということであるから，前々節を踏まえると，以下はすべて同値であることがわかる：
$\mathrm{(i)}$ $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ が自明解のみをもつ
$\mathrm{(ii)}\ \dim\mathrm{Ker}f_A = 0$ (すなわち $\mathrm{Ker}f_A=\{\,\mathbf{0}\,\}$)
$\mathrm{(iii)}\ \mathrm{rank}A(=\mathrm{rank}f_A)=n$
$\mathrm{(iv)}$ (係数行列の階数) $=$ (未知数の数)
裏返して言うと，以下はすべて同値である：
$\mathrm{(i)}$ $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ が非自明解をもつ
$\mathrm{(ii)}\ \dim\mathrm{Ker}f_A > 0$ (すなわち $\mathrm{Ker}f_A\neq\{\,\mathbf{0}\,\}$)
$\mathrm{(iii)}\ \mathrm{rank}A(=\mathrm{rank}f_A) < n$
$\mathrm{(iv)}$ (係数行列の階数) $<$ (未知数の数)
$A=(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n\,)$ を係数行列とする同次連立一次方程式
$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$
が自明解のみをもつことは，ベクトルの組 $\{\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\}$ が一次独立であることと同値であることに特に注意しよう．
実際，上記の方程式は
$(\,\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \cdots\ \mathbf{a}_n\,)
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right)=\mathbf{0}$
あるいは
$x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n=\mathbf{0}$
と表わされるから，この式が $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ のとき
のみ成り立つというのは，すなわち $\{\,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\,\}$ が一次独立であることを意味する．
同次連立一次方程式
$\left(\begin{array}{ccc}1&2&-1\\1&3&-4\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$
は係数行列の行数 < 列数 であるから非自明解をもつ．
$\mathbf{R}^2$ の3本のベクトルからなる組
$\left\{\,\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}-1\\-4\end{array}\right)\,\right\}$
は一次従属であるから，$(x_1,x_2,x_3)\neq(0,0,0)$ であって
$x_1\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)
+x_2\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)
+x_3\left(\begin{array}{c}-1\\-4\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$
を満たすものが必ず存在するのである．
実際解いてみると，解は自由変数 $t$ を用いて
$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)
=t\left(\begin{array}{c}-5\\3\\1\end{array}\right)$
と表わされることがわかる．